Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M(0;-2;1)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a}=(1;1;-2),\vec{b}=(1;0;3)$ là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $[-1;2]$, $f(-1)=8$, $f(2)=-1$. Tích phân ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng?

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+x-2026$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}{3}=\frac{2-y}{-1}=\frac{z-3}{-2}$. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của $d$?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng nào dưới đây nhận $\vec{n}=(3;1;-7)$ là một vecto pháp tuyến?

Cho hàm số $f(x)=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z+1}{1}$. Điểm nào sau đây thuộc $d$?

Cho hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;4)$, $B(2;7;9)$, $C(0;9;13)$. Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=7x^2+46x-4$ và $y=4x-4$ là

Trực thăng cứu hộ Alpha cất cánh lúc 10 giờ 00 từ điểm xuất phát Adlerhorst $A(10;6;0)$. Nó bay thẳng với vận tốc $300km/h$ tới đỉnh núi Mount Devil $D(4;-3;3)$, nơi xảy ra tai nạn. (Tọa độ tính bằng km).



Cùng lúc đó, trực thăng Beta cất cánh từ đỉnh núi Tempelberg $T(7;-8;3)$ để đưa du khách về điểm $B(4;16;0)$. Vận tốc của nó là $350km/h$. Người ta chứng minh được rằng hai trực thăng có đường bay giao nhau tại $S$. Khi Alpha tới $S$ thì Beta đã đi qua trước đó một khoảng thời gian (tính bằng giây), hãy tìm khoảng thời gian đó? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(f(x)+3x^2\right)\mathrm{d}x=10$. tính tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P):x+y+z-1=0$, $(Q):2x+my+2z+3=0$ và $(R):-x+2y+nz=0$. Tính tổng $m+2n$, biết rằng $(P)\perp (R)$ và $(P)//(Q)$.

Một ngôi nhà góc có kích thước như hình bên.



Đầu tay cần cẩu có tọa độ $K(11;12;26)$. Từ đó kéo một sợi dây tới mái $E_2$ và xoay qua tiếp tục kéo một sợi dây khác với mái $E_1$. Tính tổng chiều dài tối thiểu các sợi dây đó (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm $t$ giây là $h^{\prime }(t)=10t+500\left(m^3/s\right)$. Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ thoát nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?

Tính tích phân $$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2+10x-1\right)\mathrm{d}x.$$

Trong quá trình ông An xây nhà thì phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cột pha đi qua điểm $B$ trên một chân tường và điểm $C$ trên cột góc nhà và tận dụng một chiếc cột có sẵn cách đều hai bức tường $1m$ và chiều cao $1m$ (đỉnh cột là điểm $M$) để chống mặt ghép, đồng thời mặt ghép cột pha phải đi qua điểm $A$ trên một chân tường còn lại cách điểm $O$ một khoảng $4m$ (tham khảo hình vẽ). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà. Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cột pha $ABC$ là bao nhiêu mét vuông *(Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*?

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $M\left(1;0;1\right)$ và $N\left(3;2;-1\right)$. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm $MN$.

Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).



Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0=26m$, mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{30}=20m$. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh $L_{min}=13,75m$. Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó *(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị*, đơn vị tính: mét khối).