Trong không gian $Oxyz$, Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $m$ để đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+mt\\ y=-2+mt\\ z=1-t\end{array}$ tạo với đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2+s\\ y=-1-s\\ z=1+2ms\end{array}$ một góc $60^{\circ }$. Tính tích giá trị của các phần tử trong tập $S$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(m;m;-1)$, đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1;2m)$.

Cosin góc giữa hai đường thẳng:
$$\cos (d,\Delta )=\frac{|m\cdot 1+m\cdot (-1)+(-1)(2m)|}{\sqrt{2m^2+1}\cdot \sqrt{1+1+4m^2}}=\frac{2|m|}{\sqrt{2m^2+1}\cdot \sqrt{4m^2+2}}$$

Vì $\sqrt{4m^2+2}=\sqrt{2}\sqrt{2m^2+1}$ nên:
$$\cos (d,\Delta )=\frac{2|m|}{\sqrt{2}(2m^2+1)}$$

Góc bằng $60^{\circ }$ nên $\cos (d,\Delta )=\frac{1}{2}$:
$$\frac{2|m|}{\sqrt{2}(2m^2+1)}=\frac{1}{2}⟺4|m|=\sqrt{2}(2m^2+1)$$

Đặt $u=|m|>0$ (nếu $m=0$ thì $\Delta$ có $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1;0)$, khi đó cosin góc bằng 0, không thỏa):
$$2\sqrt{2}{u}^2-4u+\sqrt{2}=0⟺u^2-\sqrt{2}u+\frac{1}{2}=0⟺{\left(u-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=0$$

Suy ra $u=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, tức $S=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

Kiểm tra: với $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $\cos (d,\Delta )=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}\left(2\cdot \frac{1}{2}+1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, đúng.

Tích các giá trị trong tập $S$:
$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}$$