Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $I$ thuộc mặt phẳng $Oxz$ nên có tung độ $y_I=0$. Vì $I;A;B$ thẳng hàng nên $I=A+t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(1;-3;4)$. Suy ra $I=(1+t;2-3t;-1+4t)$. Từ $2-3t=0$ ta được $t=\frac{2}{3}$. Khi đó $x_I=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$, $z_I=-1+4\cdot \frac{2}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $I\left(\frac{5}{3};0;\frac{5}{3}\right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(4;-6;6)$. Phương trình tham số: $x=-3+4t,y=1-6t,z=-4+6t$. Giao với $(Oxy)$ thì $z=0\Rightarrow -4+6t=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Khi đó $x=-3+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$, $y=1-4=-3$. Vậy giao điểm là $M\left(-\frac{1}{3};-3;0\right)$, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-2;3;1)$. Phương trình tham số: $x=3-2t,y=-1+3t,z=2+t$. Giao với $(Oxy)$ thì $z=0\Rightarrow t=-2$. Suy ra $a=3-2(-2)=7$, $b=-1+3(-2)=-7$, $c=0$. Vậy $E(7;-7;0)$ và $2a+b+c=14-7+0=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P(0;0;z)$. Ta có $\overrightarrow{MN}=(2;1;-1)$ và $\overrightarrow{MP}=(-2;-1;z-2)$. Để $M;N;P$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN}$: từ $-2=2k$ và $-1=k$ suy ra $k=-1$; khi đó $z-2=(-1)(-1)=1\Rightarrow z=3$. Vậy $P(0;0;3)$, tương ứng phương án B.

$M\in (Oyz)\Rightarrow M(0;y;z)$; $\overrightarrow{AB}=(-6;6;6)$; $\overrightarrow{AM}=(-3;y+1;z-1)$. (0,25 điểm)

Do $A,B,M$ thẳng hàng nên có $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AB}$ $(k\in \mathbb{R})$

$$\iff \{\begin{array}{l}-3=-6k\\ y+1=6k\\ z-1=6k\end{array}\iff \{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ y=2\\ z=4\end{array}\Rightarrow M(0;2;4).$$ (0,25 điểm)

Khi đó $\overrightarrow{BM}=(-3;3;3)$ ; $\overrightarrow{AM}=(3;-3;-3)$ $\Rightarrow AM=3\sqrt{3};BM=3\sqrt{3}$ (0,25 điểm)

Vậy $\frac{AM}{BM}=1$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$. Phương trình tham số: $x=2-2t,y=1+2t,z=1-2t$. Vì $C$ thuộc mặt phẳng $Oxy$ nên $z=0\Rightarrow 1-2t=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$. Suy ra $C(1;2;0)$, tức $a=1,b=2,c=0$. Vậy $a-b+2025c=1-2+0=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCT của $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;1;2)$. Đường thẳng đi qua $A(1;1;1)$ nên có phương trình $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2}$, trùng đáp án A. Kiểm tra: $B(-1;2;3)$ thỏa vì $\frac{-2}{-2}=\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay bay theo đường thẳng AB nên M nằm trên đường thẳng qua $A(5;0;5)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(5;10;-2)$. Phương trình tham số: $x=5+5t,y=10t,z=5-2t$. Vì M nằm trên mặt sân bay nên $z=0\Rightarrow 5-2t=0\Rightarrow t=2,5$. Suy ra $a=5+5(2,5)=17,5$, $b=10(2,5)=25$. Vậy $a+b=17,5+25=42,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay là $\overrightarrow{AB}=(10-3;8-7;3-5)=(7;1;-2)$. Phương trình đường thẳng: $\frac{x-3}{7}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-5}{-2}$. Tại $M(a;b;0)$ có $z=0$ nên $\frac{z-5}{-2}=\frac{-5}{-2}=\frac{5}{2}$. Suy ra $a=3+7\cdot \frac{5}{2}=\frac{41}{2}=20,5$ và $b=7+\frac{5}{2}=\frac{19}{2}=9,5$. Vậy $S=b-a=9,5-20,5=-11$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
VTCT $\overrightarrow{MN}=N-M=(3-1;-4-2;-9-(-1))=(2;-6;-8)=2(1;-3;-4)$. Đường thẳng đi qua $M(1;2;-1)$ nên có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{-4}$. Kiểm tra: điểm $N(3;-4;-9)$ thỏa mãn với $t=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(0;3;-1)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-1;-9;3)$. Phương trình tham số: $x=-t,y=3-9t,z=-1+3t$. Giao điểm với trục $Ox$ có $y=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$, kiểm tra $z=-1+3\cdot \frac{1}{3}=0$ (thỏa mãn). Khi đó $C\left(-\frac{1}{3};0;0\right)$, tức $a=-\frac{1}{3},b=0,c=0$. Vậy $S=3a+b+c=3\left(-\frac{1}{3}\right)+0+0=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-4;-1;-1)$. Điểm $M$ thuộc đường thẳng AB nên $M=A+t\overrightarrow{AB}=(3-4t;1-t;2-t)$. Vì $M\in (Oxy)$ nên $z_M=0\Rightarrow 2-t=0\Rightarrow t=2$. Khi đó $M=(-5;-1;0)$ và $AM=|t|\cdot AB=2\sqrt{(-4{)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng đi qua $A(1;2;-3)$ và $B(3;-1;1)$ là $\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-2;1-(-3))=(2;-3;4)$. Phương trình tham số qua $A$: $x=1+2t,y=2-3t,z=-3+4t$. Kiểm tra: tại $t=1$ được $B(3;-1;1)$ đúng. Khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P):2x+y-3z-5=0$ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=(2;1;-3)$. Đường thẳng đi qua $A(1;2;0)$ nên phương trình tham số là $x=1+2t,y=2+t,z=-3t$. So với các phương án: A có điểm đi qua $(3;3;3)$ sai; B có vectơ chỉ phương $(2;1;3)$ sai dấu thành phần $z$; C thỏa mãn cả điểm đi qua (t=0 cho A) lẫn vectơ chỉ phương $(2;1;-3)$; D có vectơ chỉ phương $(2;-1;-3)$ sai dấu thành phần $y$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(1;-2;1)$ và ${\vec{n}}_Q=(1;1;0)$. Vì $\Delta$ song song với cả $(P)$ và $(Q)$ nên VTCP của $\Delta$ là $\vec{u}=[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_Q]=(-2\cdot 0-1\cdot 1;1\cdot 1-1\cdot 0;1\cdot 1+2\cdot 1)=(-1;1;3)$. Đường thẳng đi qua $M(2;-4;1)$ nên có phương trình tham số: $x=2-t;y=-4+t;z=1+3t$. Kiểm tra: $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_P=-1-2+3=0$ và $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_Q=-1+1=0$, nên $\Delta$ song song với cả hai mặt phẳng. Kết quả khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo của tên lửa là đường thẳng đi qua $A(2;1;3)$ với vecto chỉ phương $\vec{v}=(2;4;5)$, có phương trình tham số $x=2+2t,y=1+4t,z=3+5t$. Thử từng điểm: với $M(4;5;8)$, từ $x=4$ suy ra $t=1$, khi đó $y=1+4=5$, $z=3+5=8$ thỏa mãn. Với $N(4;5;-8)$: $t=1$ cho $z=8\ne -8$, loại. Với $P(2;1;0)$: $t=0$ cho $z=3\ne 0$, loại. Với $Q(-4;5;2)$: $x=-4$ cho $t=-3$, khi đó $y=-11\ne 5$, loại. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+4}{-2}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z-3}{1}$ có véc tơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(-2;-3;1)$.
a) Véc tơ $(4;-2;4)$ không cùng phương với $(-2;-3;1)$ vì $\frac{4}{-2}=-2$, $\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$, $\frac{4}{1}=4$ không bằng nhau. Vậy khẳng định a) sai.
b) Đường thẳng $\Delta$ qua $A(1;2;3)$ song song với $d$ nhận $\vec{u}=(2;3;-1)=-1\cdot (-2;-3;1)$ làm VTCP, phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}$. Vậy b) đúng.
c) $\overrightarrow{AK}=(3-1;5-2;2-3)=(2;3;-1)$ cùng phương với $(-2;-3;1)$ và $K\ne A$, nên $K$ thuộc $\Delta$. Vậy c) đúng.
d) Phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}$ chính là dạng chính thức của đường thẳng ở b), qua $A$ với VTCP $(2;3;-1)$ song song với $d$. Vậy d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(4;-2;4)$ không cùng phương với VTCP $(-2;-3;1)$ của $d$ vì các tỉ số $-2,2/3,4$ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTCP $(2;3;-1)=-(-2;-3;1)$ cùng phương với VTCP của $d$, đường thẳng qua $A(1;2;3)$ nên phương trình tham số như đã cho là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AK}=(2;3;-1)$ cùng phương với VTCP của $d$ nên $K$ thuộc $\Delta$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đây là dạng chính thức của phương trình $\Delta$ qua $A(1;2;3)$ với VTCP $(2;3;-1)$ song song với $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;2;3)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;2)$. Kiểm tra từng điểm: $M(-1;3;1)$: $\overrightarrow{PM}=(-2;1;-2)=-1\cdot \vec{u}$ nên $M\in d$. $N(-2;1;-2)$: $\overrightarrow{PN}=(-3;-1;-5)$, không cùng phương với $\vec{u}$ vì $\frac{-3}{2}\ne \frac{-1}{-1}$. $P(1;2;3)$ chính là điểm đi qua của $d$, nên $P\in d$. $Q(2;-1;2)$: $\overrightarrow{PQ}=(1;-3;-1)$, không cùng phương vì $\frac{1}{2}\ne \frac{-3}{-1}$. $S(1;2;-3)$: $\overrightarrow{PS}=(0;0;-6)$, không cùng phương vì $\frac{0}{2}=0\ne \frac{-6}{2}=-3$. Vậy $d$ đi qua đúng 2 điểm là $M$ và $P$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm đi qua $M(3;-2;1)$ và song song với $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(4;-3;5)$. So sánh với dạng $\{\begin{array}{l}x=a+4t\\ y=-2+bt\\ z=1+ct\end{array}$ ta được $a=3$, $b=-3$, $c=5$. Vậy $a+b+2c=3-3+2\cdot 5=10$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình tham số của d2, véc tơ chỉ phương là u2=(3;-1;2). b) Đúng: thay M(-2;-3;5) vào d1: x=1-3t1=-2 cho t1=1; khi đó y=2-5(1)=-3 và z=3+2(1)=5, khớp tọa độ M nên M thuộc d1. c) Sai: u1=(-3;-5;2), u2=(3;-1;2), tích vô hướng u1·u2=-9+5+4=0 nên hai đường thẳng vuông góc với nhau, do đó khẳng định 'không vuông góc' sai. d) Sai: đường thẳng qua O và A(-2;3;0) có véc tơ chỉ phương OA=(-2;3;0) nên phương trình là x=-2k, y=3k, z=0 (z=0 với mọi k), không phải z=k.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d2: x=5+3t2, y=2-t2, z=-3+2t2, véc tơ chỉ phương là u2=(3;-1;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
x=1-3t1=-2 ⇒ t1=1; khi đó y=2-5(1)=-3, z=3+2(1)=5, đúng bằng tọa độ M nên M thuộc d1.
c) (AI giải đề cho tôi)
u1=(-3;-5;2), u2=(3;-1;2), u1·u2=-9+5+4=0 nên d1 vuông góc d2; khẳng định 'không vuông góc' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
OA=(-2;3;0) nên đường thẳng qua O, A có phương trình x=-2k, y=3k, z=0; phương trình z=k sai vì A có tung z=0.