Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $K$. Mệnh đề nào sau đây sai.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai vectơ $\vec{a}=(1;1;-2)$, $\vec{b}=(1;0;3)$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

Hàm số $F(x)=2\sin x-3\cos x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Cho ${\int }_0^2\left[4f(x)\right]dx=-8$. Khi đó ${\int }_0^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=f(x)$ liên tục, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ $(a<b)$. Công thức tính diện tích hình phẳng $(H)$ là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;5]$ có ${\int }_0^{5}f(x)dx=3$ và ${\int }_2^{3}f(x)dx=2$. Tính $P={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_3^{5}f(x)dx$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+z+5=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng nào sau đây?

Cho hàm số $f(x)=x^3+4x$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z-5=0$ và $(Q):3x+y-2025=0$.

Trong 12 giây đầu tiên, một tàu hỏa cao tốc chuyển động nhanh dần đều với vận tốc được cho theo công thức $v(t)=5t$ $(m/s)$ với $t$ là thời gian tính theo giây.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(-2;3;0)$ và hai đường thẳng
$$d_1:\{\begin{array}{l}x=1-3t_1\\ y=2-5t_1\\ z=3+2t_1\end{array},d_2:\{\begin{array}{l}x=5+3t_2\\ y=2-t_2\\ z=-3+2t_2\end{array}\left(t_1,t_2\in \mathbb{R}\right)$$

Chuẩn bị cho ngày hội diễn văn nghệ chào đón ngày thành lập đoàn 26 tháng 3 năm 2025, ban Việt đã làm một “trại dã chiến” có dạng một khối tròn xoay như một cột tháp của tòa lâu đài (Hình 1). Mặt cắt qua trục của trại dã chiến như Hình 2.



Hình 1 (trái) và Hình 2 (phải): mặt cắt qua trục của trại dã chiến với đỉnh B, tâm O, điểm A trên đường kính đáy và O' là tâm mặt đáy dưới.

Biết rằng $O{O}^{\prime }=3\left(m\right)$, $OA=5\left(m\right)$, $OB=10\left(m\right)$, đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $B$. Tính thể tích $V\left(m^3\right)$ của khối trại chiếm chỗ trong không gian (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho tích phân $$\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin x\mathrm{d}x=\frac{a+b\sqrt{2}}{c}$$ với $a,b\in \mathbb{Z}$, $c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, các phân số $\frac{a}{c},\frac{b}{c}$ tối giản. Tính tổng $S=a+2b-c$.

Một căn nhà lắp ghép có dạng hình chóp cụt $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$; Nền nhà là hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=10\left(m\right)$, chiều rộng $AD=6\left(m\right)$. Giả sử căn nhà được gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A$ trùng với gốc tọa độ, $B$ thuộc tia $Ox$, $D$ thuộc tia $Oy$ (đơn vị đo trên các trục tọa độ là mét). Biết tọa độ điểm $A_1(8;8;6)$. Chủ nhà gắn một mắt Camera trên bức vách $AD{D}_1{A}_1$. Hỏi Camera cách điểm $C$ một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét (Bỏ qua độ dày của Camera)?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các miền hình phẳng $(A),(B)$ lần lượt bằng 4 và 9. Tính tích phân $\underset{-1}{\overset{4}{\int }}\left[f(x)-2\right]\mathrm{d}x$.

Một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng có mức giá như nhau và có tổng doanh thu trong một tháng là $T(x)$ (triệu đồng). Người chủ muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng mỗi tháng thêm $x$ (triệu đồng, $x\ge 0$) thì tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-20x+300$, (trong đó $T^{\prime }(x)$ tính bằng triệu đồng/tháng). Biết rằng nếu giá thuê tăng mỗi tháng thêm 10 triệu đồng thì tổng doanh thu mỗi tháng là 12000 (triệu đồng). Tìm giá trị của $x$ để doanh thu cao nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$ và điểm $A(2;1;2)$. Gọi $B(a;b;c)$ là điểm thuộc đường thẳng $d$ có tọa độ nguyên sao cho độ dài $AB=\sqrt{5}$. Tính giá trị $T=a^3+b^3+c^3$.