Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và .
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng và .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và cùng vuông góc với hai mặt phẳng và có phương trình là .
b)
Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .
c)
Vectơ và lần lượt là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng .
d)
Cho 3 điểm ; ; . Gọi là điểm di động trên mặt phẳng . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 14.
Đáp án chính thức: a:Đ,b:S,c:Đ,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ pháp tuyến của (α) vuông góc với cả n1=(1;2;-2) và n2=(3;1;0), nên lấy tích có hướng: n1×n2 = (2·0-(-2)·1; (-2)·3-1·0; 1·1-2·3) = (2;-6;-5). Mặt phẳng qua O: 2x-6y-5z=0. Đúng.
b) n1·n2 = 1·3+2·1+(-2)·0 = 5 ≠ 0 nên (P) không vuông góc với (Q). Sai.
c) Từ phương trình mặt phẳng, n1=(1;2;-2) là pháp tuyến của (P) và n2=(3;1;0) là pháp tuyến của (Q). Đúng.
d) G là trọng tâm tam giác ABC: G = ((-1+2-4)/3; (3+6-12)/3; (5-1+5)/3) = (-1;-1;3). Ta có MA+MB+MC = 3·MG nên S = 3·MG, nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên (P): S_min = 3·d(G,(P)) = 3·|(-1)+2(-1)-2·3-5|/√(1+4+4) = 3·14/3 = 14. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n1×n2 = (2;-6;-5), mặt phẳng qua O có phương trình 2x-6y-5z=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
n1·n2 = 5 ≠ 0 nên hai mặt phẳng không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đọc trực tiếp từ phương trình mặt phẳng: n1=(1;2;-2), n2=(3;1;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
S = 3·MG với G(-1;-1;3) trọng tâm; d(G,(P)) = 14/3 nên S_min = 14.
a) Vectơ pháp tuyến của (α) vuông góc với cả n1=(1;2;-2) và n2=(3;1;0), nên lấy tích có hướng: n1×n2 = (2·0-(-2)·1; (-2)·3-1·0; 1·1-2·3) = (2;-6;-5). Mặt phẳng qua O: 2x-6y-5z=0. Đúng.
b) n1·n2 = 1·3+2·1+(-2)·0 = 5 ≠ 0 nên (P) không vuông góc với (Q). Sai.
c) Từ phương trình mặt phẳng, n1=(1;2;-2) là pháp tuyến của (P) và n2=(3;1;0) là pháp tuyến của (Q). Đúng.
d) G là trọng tâm tam giác ABC: G = ((-1+2-4)/3; (3+6-12)/3; (5-1+5)/3) = (-1;-1;3). Ta có MA+MB+MC = 3·MG nên S = 3·MG, nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên (P): S_min = 3·d(G,(P)) = 3·|(-1)+2(-1)-2·3-5|/√(1+4+4) = 3·14/3 = 14. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n1×n2 = (2;-6;-5), mặt phẳng qua O có phương trình 2x-6y-5z=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
n1·n2 = 5 ≠ 0 nên hai mặt phẳng không vuông góc.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đọc trực tiếp từ phương trình mặt phẳng: n1=(1;2;-2), n2=(3;1;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
S = 3·MG với G(-1;-1;3) trọng tâm; d(G,(P)) = 14/3 nên S_min = 14.