Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay là $\overrightarrow{AB}=(10-3;8-7;3-5)=(7;1;-2)$. Phương trình đường thẳng: $\frac{x-3}{7}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-5}{-2}$. Tại $M(a;b;0)$ có $z=0$ nên $\frac{z-5}{-2}=\frac{-5}{-2}=\frac{5}{2}$. Suy ra $a=3+7\cdot \frac{5}{2}=\frac{41}{2}=20,5$ và $b=7+\frac{5}{2}=\frac{19}{2}=9,5$. Vậy $S=b-a=9,5-20,5=-11$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):4x+3y-7z+1=0$ nên vectơ chỉ phương của d là vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$: $\vec{u}=(4;3;-7)$. Đường thẳng đi qua $A(1;2;3)$ nên phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-7}$. Đây khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số $x=-1+5t,y=5,z=3-t$, hệ số của $t$ cho véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(5;0;-1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường đi của tàu có phương vectơ $\vec{u}(2;-2;1)$, $|\vec{u}|=3$. Điểm B có hoành độ $x_B=610$ nên $\overrightarrow{AB}=k\vec{u}$ với $10+2k=610\Rightarrow k=300$. Vậy $AB=300\cdot |\vec{u}|=300\cdot 3=900$ m. Thời gian đi từ A đến B là 6 phút nên vận tốc $v=900/6=150$ m/phút. Quãng đường $AD=2700$ m nên thời gian đi từ A đến D là $2700/150=18$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tại thời điểm đập cầu quả cầu ở A(12;2;5/2) nên độ cao là z = 5/2 = 2,5 m, không phải 2 m.
b) Đúng: sân dài 13 m theo trục x (hình vẽ ghi 6,5 m mỗi nửa), lưới chia sân thành hai nửa bằng nhau nên nằm tại x = 13/2; mặt phẳng chứa lưới vuông góc với sân là x = 13/2.
c) Sai: |u| = sqrt((11/2)^2 + 1 + 1) = sqrt(129)/2. Vectơ vận tốc ngược hướng u với độ lớn sqrt(129) m/s phải là v = -2u = (-11; 2; -2), không phải (-1; 2; -2) vì vectơ này có độ lớn 3.
d) Đúng: cầu bay theo hướng -u (về phía lưới): x(t) = 12 - (11/2)t. Tại mặt lưới x = 13/2: 12 - (11/2)t = 13/2 → t = 1, khi đó z = 5/2 - 1 = 3/2 = 1,5 m. Lưới cao từ 0,75 m đến 0,75 + 0,8 = 1,55 m; vì 0,75 < 1,5 < 1,55 nên quả cầu bị lưới chặn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm A(12;2;5/2) nên độ cao là 5/2 = 2,5 m, không phải 2 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sân dài 13 m theo trục x, lưới ở giữa nên mặt phẳng chứa lưới là x = 13/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
|u| = sqrt(129)/2 nên v = -2u = (-11; 2; -2); vectơ (-1; 2; -2) có độ lớn 3, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại x = 13/2 (t = 1) thì z = 1,5 m, nằm trong khoảng 0,75 m đến 1,55 m nên cầu bị lưới chặn.

(AI giải đề cho tôi)
VTCT $\overrightarrow{MN}=N-M=(3-1;-4-2;-9-(-1))=(2;-6;-8)=2(1;-3;-4)$. Đường thẳng đi qua $M(1;2;-1)$ nên có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{-4}$. Kiểm tra: điểm $N(3;-4;-9)$ thỏa mãn với $t=2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(0;3;-1)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-1;-9;3)$. Phương trình tham số: $x=-t,y=3-9t,z=-1+3t$. Giao điểm với trục $Ox$ có $y=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$, kiểm tra $z=-1+3\cdot \frac{1}{3}=0$ (thỏa mãn). Khi đó $C\left(-\frac{1}{3};0;0\right)$, tức $a=-\frac{1}{3},b=0,c=0$. Vậy $S=3a+b+c=3\left(-\frac{1}{3}\right)+0+0=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-4;-1;-1)$. Điểm $M$ thuộc đường thẳng AB nên $M=A+t\overrightarrow{AB}=(3-4t;1-t;2-t)$. Vì $M\in (Oxy)$ nên $z_M=0\Rightarrow 2-t=0\Rightarrow t=2$. Khi đó $M=(-5;-1;0)$ và $AM=|t|\cdot AB=2\sqrt{(-4{)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động trên đường thẳng cùng phương với vectơ $\vec{u}=(2;-1;2)$ có độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{4+1+4}=3$. Sau 4 phút cabin đến $B$ với $x_B=450$: do $\overrightarrow{AB}=k\vec{u}$ nên $x_B=10+2k=450\Rightarrow k=220$, suy ra $AB=220\cdot 3=660$ m. Vận tốc cabin $v=660/4=165$ m/phút. Thời gian đi hết quãng đường $AD=3795$ m là $t=3795/165=23$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động đều trên đường thẳng cùng phương với $\vec{u}(2;-2;1)$, nên $B=A+k\vec{u}$. Vì $x_B=550$: $10+2k=550\Rightarrow k=270$. Suy ra $AB=k|\vec{u}|=270\cdot 3=810$ m đi trong 3 phút, tức vận tốc $v=810:3=270$ m/phút. Thời gian đi hết quãng đường $AD=4050$ m là $t=4050:270=15$ phút. Kết quả khớp với đáp án nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động đều theo phương của vectơ $\vec{u}=(6;3;2)$, có $|\vec{u}|=\sqrt{6^2+3^2+2^2}=7$. Sau 10 giây, tung độ z tăng từ 10 lên 30, tức $\Delta z=20$. Vì thành phần z của vectơ chỉ phương là 2, quãng đường đi được trong 10 giây là $\frac{20}{2}\cdot 7=70m$. Vận tốc của cabin là $v=70/10=7m/s$. Tổng thời gian trên quãng đường $AM=5261m$ là $t=\frac{5261}{7}\approx 751,57\approx 752$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của đường thẳng đi qua $A(1;2;-3)$ và $B(3;-1;1)$ là $\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-2;1-(-3))=(2;-3;4)$. Phương trình tham số qua $A$: $x=1+2t,y=2-3t,z=-3+4t$. Kiểm tra: tại $t=1$ được $B(3;-1;1)$ đúng. Khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ có VTCP $\vec{u}=(2;3;4)$. Đường thẳng cần tìm đi qua $A(3;5;7)$ và song song với $d$ nên nhận $\vec{u}=(2;3;4)$ làm VTCP, phương trình tham số: $x=3+2t,y=5+3t,z=7+4t$. Phương án A, B có VTCP $(3;5;7)$ không cùng phương với $\vec{u}$; phương án C có VTCP đúng nhưng đi qua $(-3;-5;-7)\ne A$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P):2x+y-3z-5=0$ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=(2;1;-3)$. Đường thẳng đi qua $A(1;2;0)$ nên phương trình tham số là $x=1+2t,y=2+t,z=-3t$. So với các phương án: A có điểm đi qua $(3;3;3)$ sai; B có vectơ chỉ phương $(2;1;3)$ sai dấu thành phần $z$; C thỏa mãn cả điểm đi qua (t=0 cho A) lẫn vectơ chỉ phương $(2;1;-3)$; D có vectơ chỉ phương $(2;-1;-3)$ sai dấu thành phần $y$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vector chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-1;2;2)$. Vì $\Delta$ vuông góc với cả hai đường thẳng nên vector chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ -1& 2& 2\end{array}\right|=(-1\cdot 2-1\cdot 2;1\cdot (-1)-1\cdot 2;1\cdot 2-(-1)(-1))=(-4;-3;1)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;-1;-3)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x-2}{-4}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+3}{1}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng có pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(1;-2;1)$ và ${\vec{n}}_Q=(1;1;0)$. Vì $\Delta$ song song với cả $(P)$ và $(Q)$ nên VTCP của $\Delta$ là $\vec{u}=[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_Q]=(-2\cdot 0-1\cdot 1;1\cdot 1-1\cdot 0;1\cdot 1+2\cdot 1)=(-1;1;3)$. Đường thẳng đi qua $M(2;-4;1)$ nên có phương trình tham số: $x=2-t;y=-4+t;z=1+3t$. Kiểm tra: $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_P=-1-2+3=0$ và $\vec{u}\cdot {\vec{n}}_Q=-1+1=0$, nên $\Delta$ song song với cả hai mặt phẳng. Kết quả khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm đi qua $A(-3;3;-2)$, song song với $(P)$ nên vuông góc với pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(1;2;3)$, và vuông góc với $d$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(-1;2;2)$. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u}=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(2\cdot 2-3\cdot 2;3\cdot (-1)-1\cdot 2;1\cdot 2-2\cdot (-1))=(-2;-5;4)$, lấy tỉ lệ $(2;5;-4)$. Phương trình: $\frac{x+3}{2}=\frac{y-3}{5}=\frac{z+2}{-4}$. Kiểm tra: $(2;5;-4)\cdot (1;2;3)=2+10-12=0$ (song song $(P)$) và $(2;5;-4)\cdot (-1;2;2)=-2+10-8=0$ (vuông góc $d$). Kết quả trùng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Quỹ đạo của tên lửa là đường thẳng đi qua $A(2;1;3)$ với vecto chỉ phương $\vec{v}=(2;4;5)$, có phương trình tham số $x=2+2t,y=1+4t,z=3+5t$. Thử từng điểm: với $M(4;5;8)$, từ $x=4$ suy ra $t=1$, khi đó $y=1+4=5$, $z=3+5=8$ thỏa mãn. Với $N(4;5;-8)$: $t=1$ cho $z=8\ne -8$, loại. Với $P(2;1;0)$: $t=0$ cho $z=3\ne 0$, loại. Với $Q(-4;5;2)$: $x=-4$ cho $t=-3$, khi đó $y=-11\ne 5$, loại. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường trượt zipline là đoạn thẳng từ $A(3;2,5;15)$ đến $B(21;27,5;10)$. Phương trình tham số: $\overrightarrow{AB}=(18;25;-5)$, nên $\{\begin{array}{l}x=3+18t\\ y=2,5+25t\\ z=15-5t\end{array}$. Khi độ cao $z=12$: $15-5t=12\Rightarrow t=\frac{3}{5}$. Suy ra $x=3+18\cdot \frac{3}{5}=\frac{69}{5}$, $y=2,5+25\cdot \frac{3}{5}=\frac{35}{2}$. Vậy tọa độ cần tìm là $\left(\frac{69}{5};\frac{35}{2};12\right)$, chọn đáp án D.