Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$, tâm $I(1;2;-1)$ và $R^2=1^2+2^2+(-1{)}^2+2=8\Rightarrow R=2\sqrt{2}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;1;-2)$ bán kính $R=3$ là $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=3^2=9$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(0;0;0)$ bán kính $R=4$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=R^2=16$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IB=\sqrt{(4-1{)}^2+(-4-0{)}^2+(-2+2{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Mặt cầu tâm $I(1;0;-2)$ có phương trình $(x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=25$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IB=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{18}$. Phương trình mặt cầu: $x^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=18$, khai triển: $x^2+y^2+z^2-2y+6z+1+9-18=0\iff x^2+y^2+z^2-2y+6z-8=0$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ là trung điểm $AB$: $I\left(\frac{1-3}{2};\frac{-2+8}{2};\frac{7-1}{2}\right)=I(-1;3;3)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $AB=\sqrt{(-4{)}^2+10^2+(-8{)}^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$, nên $R=3\sqrt{5}$, $R^2=45$. Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=45$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm $I=\left(\frac{0-2}{2};\frac{-1+2}{2};\frac{2+1}{2}\right)=(-1;\frac{1}{2};\frac{3}{2})$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $A{B}^2=(-2-0{)}^2+(2+1{)}^2+(1-2{)}^2=4+9+1=14$, nên $R^2=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$. Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{7}{2}$. Khớp đáp án A (các phương án B, D sai vì vế phải là $\frac{\sqrt{14}}{2}$ chứ không phải $R^2$; C sai tâm).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm $I(1;-3;2)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$: $R=\frac{|1+2(-3)-2(2)+5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1-6-4+5|}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy $R^2=\frac{16}{9}$ và phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2+(z-2{)}^2=\frac{16}{9}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với hệ số của $x^2,y^2,z^2$ bằng nhau và bằng 1, không có các hạng tử chéo $xy,yz,zx$, và $a^2+b^2+c^2-d>0$. Xét A: $x^2+y^2+z^2+2x-2z-7=0$ có đủ $x^2,y^2,z^2$ hệ số bằng 1, không có hạng tử chéo. Hoàn thành bình phương: $(x+1{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=9$, là mặt cầu tâm $I(-1;0;1)$ bán kính $R=3>0$. Các phương án B, D có hệ số của $z^2$ hoặc $y^2$ âm (không phải mặt cầu); phương án C có hạng tử chéo $2xy-2yz$ (không phải mặt cầu). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tầm hoạt động 20 km tương ứng 2 đơn vị trong không gian $Oxyz$. Vật thể bị phát hiện khi khoảng cách từ điểm tới $O$ không vượt quá 2. $OM=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}>2$; $ON=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}>2$; $OP=\sqrt{1+1+2}=2\le 2$ (nằm trên mặt cầu bán kính 2); $OQ=3>2$. Vậy chỉ điểm $P\left(1;1;\sqrt{2}\right)$ bị Rada phát hiện.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-2{)}^2+(2-2{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{5}$. Mặt cầu tâm $I(2;2;0)$: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x=0$. Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ $I(1;-2;3)$ đến $(Oyz)$: $R=|1|=1$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=4$ có tâm $I(-2;1;0)$, bán kính $R=2$. a) Đường kính $=2R=4\ne 8$ → sai. b) Thay $A(-1;3;0)$: $(-1+2{)}^2+(3-1{)}^2+0^2=1+4=5\ne 4$ → $A$ không thuộc mặt cầu → sai. c) Khoảng cách từ $I(-2;1;0)$ đến $(Oyz)$ (phương trình $x=0$) là $d=|-2|=2$ → đúng. d) $d(I,(P))=\frac{|-2+2(1)-2(0)-2|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|-2|}{3}=\frac{2}{3}\ne R=2$ → mặt phẳng cắt mặt cầu, không tiếp xúc → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=2$ nên đường kính $=4\ne 8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(-1;3;0)$ vào phương trình: $1^2+2^2+0^2=5\ne 4$, nên $A$ không thuộc $(S)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(-2;1;0)$, khoảng cách đến $(Oyz)$ là $|-2|=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=\frac{|-2+2-0-2|}{3}=\frac{2}{3}\ne 2=R$, nên $(P)$ cắt $(S)$ chứ không tiếp xúc.

(AI giải đề cho tôi)
Hải đăng tại $I(10;20;30)$, bán kính phủ sáng $R=3\text{ km}=3000$ m (đơn vị trục là mét).
a) Ranh giới vùng phủ sáng là mặt cầu tâm $I$ bán kính 3000 m: $(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=3000^2$ → đúng.
b) $IA=\sqrt{(50-10{)}^2+(20-20{)}^2+(0-30{)}^2}=\sqrt{1600+900}=50$ m $<3000$ m, nên $A$ nằm trong vùng phủ sáng → đúng.
c) $IB=\sqrt{(4030-10{)}^2+(50-20{)}^2+(40-30{)}^2}=\sqrt{4020^2+30^2+10^2}\approx 4020,1$ m $>3000$ m, nên $B$ ngoài vùng phủ sáng → sai.
d) Hai người nhìn thấy ánh sáng nghĩa là họ nằm trong (hoặc trên) mặt cầu bán kính 3000 m. Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt cầu bán kính $R$ không vượt quá đường kính $2R=6000$ m $=6$ km → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính 3 km = 3000 m, mặt cầu tâm $I(10;20;30)$: $(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=3000^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{40^2+0^2+30^2}=50$ m $<3000$ m nên $A$ trong vùng phủ sáng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IB=\sqrt{4020^2+30^2+10^2}\approx 4020,1$ m $>3000$ m nên $B$ ngoài vùng phủ sáng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm trong mặt cầu bán kính 3000 m cách nhau tối đa bằng đường kính 6000 m = 6 km.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ thuộc trục $Ox$ nên $I(a;0;0)$ → a đúng. Vì $(S)$ đi qua $A,B$: $I{A}^2=I{B}^2\iff (a-3{)}^2+1+4=(a-1{)}^2+9\iff a^2-6a+14=a^2-2a+10\iff a=1$. Vậy $I(1;0;0)$, $R^2=I{A}^2=(1-3{)}^2+1+4=9\Rightarrow R=3$ (không phải $R=9$) → b sai. Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+y^2+z^2=9$ → c đúng. Với $M(x;y;z)\in (Oyz)$ thì $x=0$: $P=M{A}^2+M{B}^2+M{I}^2=9+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2+1+y^2+(z-3{)}^2+1+y^2+z^2=3y^2-2y+3z^2-10z+25=3{\left(y-\frac{1}{3}\right)}^2+3{\left(z-\frac{5}{3}\right)}^2+\frac{47}{3}$. Min tại $y=\frac{1}{3},z=\frac{5}{3}$, khi đó $T=x+y+z=0+\frac{1}{3}+\frac{5}{3}=2$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm thuộc trục $Ox$ nên có tọa độ dạng $I(a;0;0)$. Giải $I{A}^2=I{B}^2$ được $a=1$, tức $I(1;0;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R^2=I{A}^2=(1-3{)}^2+(1-0{)}^2+(2-0{)}^2=9$ nên $R=3$, không phải $R=9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $I(1;0;0)$, $R^2=9$, phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+y^2+z^2=9$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $P=3y^2-2y+3z^2-10z+25$ đạt min tại $y=\frac{1}{3},z=\frac{5}{3}$, suy ra $T=x+y+z=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng kiểm soát là khối cầu tâm O bán kính R=600 km. a) Sai vì bán kính là 600 km chứ không phải 300 km. b) Đúng: x²+y²+z²=600²=360000. c) Đúng: M(-500;100;100√11) có OM²=250000+10000+110000=370000>360000 nên M nằm ngoài mặt cầu, tức ngoài vùng kiểm soát. d) Sai: máy bay trên d: x=-1000+100t, y=-300+80t, z=100√11. Giao với mặt cầu: (-1000+100t)²+(-300+80t)²+110000=360000 ⟺ 16400t²-248000t+840000=0 ⟺ 41t²-620t+2100=0 ⟺ t=210/41 hoặc t=10. Máy bay hướng về đài nên phát hiện tại t₁=210/41 (điểm vào) và ra khỏi vùng tại t₂=10. Vectơ chỉ phương u=(100;80;0), |u|=20√41, độ dài cung đi trong vùng = (10-210/41)·20√41 = 4000/√41 ≈ 624,7 km. Thời gian = (4000/√41)/900 = 40/(9√41) ≈ 0,69 giờ ≠ 4/3 giờ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đài phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km nên ranh giới là mặt cầu tâm O bán kính R=600 km, không phải 300 km.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính R=600 có phương trình x²+y²+z²=600²=360000.
c) (AI giải đề cho tôi)
M(-500;100;100√11) thuộc d (t=5). OM²=250000+10000+110000=370000>360000=600² nên M nằm ngoài vùng kiểm soát.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay z=100√11 vào phương trình mặt cầu: (-1000+100t)²+(-300+80t)²=250000 ⟺ 41t²-620t+2100=0 ⟺ t=210/41 hoặc t=10. Máy bay đi vào vùng tại t₁=210/41 và ra khỏi tại t₂=10. Quãng đường trong vùng = (10-210/41)·|u| với u=(100;80;0), |u|=20√41, tức 4000/√41≈624,7 km. Thời gian = 624,7/900 ≈ 0,69 giờ, không bằng 4/3 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IM=\sqrt{(1-2{)}^2+(-1-1{)}^2+(-5+3{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3$. Phương trình mặt cầu: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=9$, tức $x^2+y^2+z^2-4x-2y+6z+5=0$. Nhân với 2: $2x^2+2y^2+2z^2-8x-4y+12z+10=0$, suy ra $a=-8,b=-4,c=12,d=10$. Vậy $T=a+b-c+d=-8-4-12+10=-14$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu đường kính $AB$ là trung điểm $I=\left(\frac{1+0}{2};\frac{0+2}{2};\frac{2+1}{2}\right)=(0,5;1;1,5)$, nên $a=0,5,b=1,c=1,5$. Bán kính: $A{B}^2=(0-1{)}^2+(2-0{)}^2+(1-2{)}^2=6$, nên $d=R^2=\frac{A{B}^2}{4}=\frac{6}{4}=1,5$. Do đó $T=2a-b+4c+2d=2(0,5)-1+4(1,5)+2(1,5)=1-1+6+3=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I(a;b;c)$ là tâm mặt cầu. Vì $I$ cách đều $A,B,C,D$ nên ta có hệ phương trình từ $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2=I{D}^2$.

Từ $I{A}^2=I{B}^2$: $(a-2{)}^2-(a+1{)}^2+c^2-(c-1{)}^2=0\Rightarrow -6a+3+2c-1=0\Rightarrow c=3a-1$.

Từ $I{A}^2=I{C}^2$: $(a-2{)}^2-a^2+c^2-(c-3{)}^2=0\Rightarrow -4a+4+6c-9=0\Rightarrow c=\frac{4a+5}{6}$.

Suy ra $3a-1=\frac{4a+5}{6}\Rightarrow 18a-6=4a+5\Rightarrow 14a=11\Rightarrow a=\frac{11}{14}$, và $c=3\cdot \frac{11}{14}-1=\frac{19}{14}$.

Từ $I{A}^2=I{D}^2$: $(a-2{)}^2-(a-1{)}^2+b^2-(b-1{)}^2+c^2-(c+1{)}^2=0\Rightarrow -2a+3+2b-1-2c-1=0\Rightarrow b=a+c-\frac{1}{2}=\frac{11}{14}+\frac{19}{14}-\frac{7}{14}=\frac{23}{14}$.

Vậy $T=4a+b-c=\frac{44}{14}+\frac{23}{14}-\frac{19}{14}=\frac{48}{14}=\frac{24}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua A(1;1;0) với vectơ chỉ phương u=(1;1;−1). Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I(1;3;2) đến Δ: IA=(0;−2;−2), IA×u=(4;−2;2), |IA×u|=√24=2√6, |u|=√3 nên R=d(I,Δ)=2√6/√3=2√2, R²=8. Phương trình mặt cầu: (x−1)²+(y−3)²+(z−2)²=8 ⟺ x²+y²+z²−2x−6y−4z+6=0. Vậy a=1, b=3, c=2, d=6, do đó T=a+b+c−d=1+3+2−6=0.