Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $P(-1;0;2)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;1)$, $|\vec{u}|=\sqrt{6}$. Ta có $\overrightarrow{PI}=(1;0;1)$ và $\overrightarrow{PI}\times \vec{u}=(-2;0;2)$ nên $d(I,d)=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $I$ xuống $d$; vì tam giác $IAB$ cân tại $I$ nên $H$ là trung điểm $AB$, suy ra $HA=AB/2=3$. Bán kính mặt cầu: $R=IA=\sqrt{I{H}^2+H{A}^2}=\sqrt{\frac{4}{3}+9}=\sqrt{\frac{31}{3}}\approx 3,21$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(1;2;-1)$, bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P):2x-2y-z-8=0$:
$$R=\frac{|2(1)-2(2)-(-1)-8|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{|2-4+1-8|}{3}=\frac{9}{3}=3.$$
Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=9$, khai triển:
$$x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z+1+4+1-9=0\Rightarrow x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-5=0.$$
So sánh với $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ ta được $a=1,b=2,c=-1,d=-5$.
Do đó $a+b+c+2d=1+2-1+2(-5)=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(C)$ có tâm $I(1;2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{11}$. Kiểm tra $A(2;1;0)$ thuộc mặt cầu: $(2-1{)}^2+(1-2{)}^2+(0+3{)}^2=1+1+9=11$ ✓. Vì $d$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $d\perp IA$ với $\overrightarrow{IA}=(1;-1;3)$. Lại có $d\perp \Delta$ với ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;2;1)$. Vậy vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=\overrightarrow{IA}\times {\vec{u}}_{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=(-7;2;3)$. Kiểm tra: $(-7)(1)+2(-1)+3(3)=0$ và $-7+4+3=0$ ✓. Đường thẳng $d$ đi qua $A(2;1;0)$ nên có phương trình: $\frac{x-2}{-7}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{3}$ (hoặc $\frac{x-2}{7}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{-3}$).

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu là $I(1;2;2)$, bán kính $R=3$.
a) $IM=\sqrt{3^2+(-6{)}^2+0^2}=\sqrt{45}$; $IN=\sqrt{5^2+(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{45}$. Vậy $IM=IN$, hai vệ tinh cách tâm mặt cầu bằng nhau, mệnh đề 'M gần tâm hơn N' là SAI.
b) $\overrightarrow{MN}=(2;4;4)=2(1;2;2)$, đường thẳng qua $M(4;-4;2)$ có VTCP $(1;2;2)$: $\frac{x-4}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-2}{2}$. ĐÚNG.
c) Mặt phẳng qua $I,M,N$: $\overrightarrow{IM}=(3;-6;0)$, $\overrightarrow{IN}=(5;-2;4)$, pháp tuyến $\overrightarrow{IM}\times \overrightarrow{IN}=(-24;-12;24)\parallel (2;1;-2)$. Phương trình: $2(x-1)+(y-2)-2(z-2)=0\iff 2x+y-2z=0$. ĐÚNG.
d) Khoảng cách từ $M$ đến điểm gần nhất trên mặt cầu là $IM-R=\sqrt{45}-3\approx 3,7082$ đơn vị $=3,7082\times 2100\approx 7787,2$ km. Thời gian $t=\frac{7787,2}{3\cdot 10^5}\approx 0,02596\approx 0,026$ giây. ĐÚNG.
Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{45}=IN$ nên hai vệ tinh cách tâm mặt cầu bằng nhau, M không gần tâm hơn N.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(2;4;4)\parallel (1;2;2)$, đường thẳng qua M: $\frac{x-4}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-2}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $\overrightarrow{IM}\times \overrightarrow{IN}\parallel (2;1;-2)$, qua $I(1;2;2)$ cho $2x+y-2z=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $IM-R=(\sqrt{45}-3)\times 2100\approx 7787,2$ km, thời gian $\approx 0,026$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-4=0$, ta có tâm $I(-a/2;-b/2;-c/2)=(2;-4;1)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2d}$ với $a=-4,b=8,c=-2,d=-4$: $R=\sqrt{16+64+4+8}=\sqrt{92}=2\sqrt{23}$... Kiểm tra lại: công thức $R=\sqrt{(-4{)}^2+8^2+(-2{)}^2-2(-4)}=\sqrt{16+64+4+8}=\sqrt{92}$. Tuy nhiên theo cách biến đổi: $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-1{)}^2=4+16+1+4=25$, suy ra $R=5$, tâm $I(2;-4;1)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (2A).

Gọi O là chân trụ của trạm A và I là chân trụ của trạm B. Khi đó ta có OA=20m, IB=20m, OI=500m. Xe ô tô di chuyển trên đường từ O đến C và từ C đến I, ta có OC=600, IC=400. Kí hiệu ô tô là X và Flycam là F. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta có O(0;0;0), A(0;0;20), I(0;500;0), B(0;500;20).

Flycam F đang bay trong vùng phủ sóng wifi của trạm A hoặc trạm B: F thuộc khối cầu tâm A bán kính $R_1=400$, hoặc F thuộc khối cầu tâm B bán kính $R_2=300$.

Theo đề bài ta cần tìm giá trị lớn nhất của FX.

+ Khi X thuộc đoạn OC, ta có $FX\le \max \{FO;FC\}$, và khi X thuộc đoạn CI, ta có $FX\le \max \{FC;FI\}$

$\Rightarrow$ suy ra $FX\le \max \{FO;FC;FI\}$.

Lại có

$$FO\le \max \{OA+R_1;OB+R_2\}=\max \{420;300+20\sqrt{626}\}=300+20\sqrt{626}$$

$$FC\le \max \{CA+R_1;CB+R_2\}=\max \{400+20\sqrt{901};300+20\sqrt{401}\}=400+20\sqrt{901}$$

$$FI\le \max \{IA+R_1;IB+R_2\}=\max \{400+20\sqrt{626};320\}=400+20\sqrt{626}$$

$\Rightarrow$ suy ra $FX\le 400+20\sqrt{901}$, nên $\max FX=400+20\sqrt{901}$ khi ô tô ở vị trí C, flycam ở vị trí trên tia đối tia AC và thuộc mặt cầu A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=OA=\sqrt{0^2+(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. Mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính 5 có phương trình $x^2+y^2+z^2=25$. Các phương trình ở C, D có tâm khác $O$ nên sai; B sai vì $R^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vùng phát sóng là mặt cầu tâm $I(20;30;10)$ bán kính $R=20$. a) Phương trình mặt cầu: $(x-20{)}^2+(y-30{)}^2+(z-10{)}^2=400$ → đúng. b) $IM=\sqrt{(40-20{)}^2+(10-30{)}^2+(20-10{)}^2}=\sqrt{400+400+100}=30>20$ nên $M$ ngoài vùng phát sóng → sai. c) Giao của mặt cầu với mặt đất $(z=0)$ là đường tròn tâm $H(20;30;0)$, bán kính $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}\approx 17,32$. Hai vật trên mặt đất cách nhau tối đa $2r=2\sqrt{300}\approx 34,64m$ → đúng. d) Tâm đường tròn trên mặt đất là hình chiếu của $I$ xuống $(Oxy)$ là $H(20;30;0)$, không phải $J(10;20;0)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(20;30;10)$ bán kính $20$: $(x-20{)}^2+(y-30{)}^2+(z-10{)}^2=400$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{20^2+(-20{)}^2+10^2}=30>20$, nên $M$ nằm ngoài vùng phát sóng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao mặt cầu với mặt đất là đường tròn tâm $(20;30;0)$ bán kính $\sqrt{400-100}=\sqrt{300}$, đường kính $2\sqrt{300}\approx 34,64m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm hình tròn trên mặt đất là hình chiếu của $I$ lên $(Oxy)$: $(20;30;0)$, không phải $(10;20;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-4z=0$ có tâm $I(1;2;2)$, bán kính $R=3$. Hai điểm $A(4;-4;2)$, $B(6;0;6)$ nằm ngoài mặt cầu vì $IA=\sqrt{9+36+0}=3\sqrt{5}$, $IB=\sqrt{25+4+16}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$.

Do tính đối xứng, điểm $M$ cho $MA+MB$ lớn nhất nằm trong mặt phẳng đi qua $I$ và đường thẳng $AB$. Mặt phẳng qua $A,B,I$ có pháp tuyến $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AI}\parallel (2;1;-2)$, phương trình $2x+y-2z=0$ (thỏa tại $A$, $B$, $I$).

Lập hệ trục trong mặt phẳng với gốc $I$: trục $u=\frac{1}{3}(1;2;2)$ dọc $AB$, trục $w=\frac{1}{3}(-2;2;-1)$ vuông góc $u$ trong mặt phẳng. Khi đó $A$ có tọa độ $(-3;-6)$, $B$ có tọa độ $(3;-6)$, và $M=(x;y)$ với $x^2+y^2=9$.

Cần tối đa hóa $f=\sqrt{(x+3{)}^2+(y+6{)}^2}+\sqrt{(x-3{)}^2+(y+6{)}^2}$. Do đối xứng $x\leftrightarrow -x$, cực đại tại $x=0$. Thử: $y=3$ cho $f=2\sqrt{90}=6\sqrt{10}\approx 18,97$; $y=-3$ cho $f=6\sqrt{2}\approx 8,49$; $x=\pm 3,y=0$ cho $f\approx 14,49$. Vậy giá trị lớn nhất tại $(0;3)$, tức $M=I+3w=(1;2;2)+(-2;2;-1)=(-1;4;1)$.

Kiểm tra: $M$ thuộc mặt cầu vì $1+16+1+2-16-4=0$; thuộc mặt phẳng vì $-2+4-2=0$.

Tính $a^2+3b^2+2c^2=(-1{)}^2+3\cdot 4^2+2\cdot 1^2=1+48+2=51$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;1;3) vào (P): 2(1)-1+2(3)-8 = -1 ≠ 0 nên (P) không đi qua M → sai.
b) (S): (x+1)²+(y-2)²+(z-3)² = 17 - m. Là mặt cầu khi và chỉ khi 17 - m > 0, tức m < 17 (không gồm m = 17 vì khi đó chỉ là điểm) → khẳng định m ≤ 17 sai.
c) Tâm I(-1;2;3), d(I,(P)) = |2(-1)-2+2(3)-8|/√9 = 6/3 = 2 → đúng.
d) Chu vi 8π ⇒ r = 4 ⇒ R² - d² = 16 ⇒ (17-m) - 4 = 16 ⇒ m = -3. Chỉ có một giá trị m → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
2(1)-1+2(3)-8 = -1 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
R² = 17 - m > 0 ⇔ m < 17, điều kiện đúng là m < 17 chứ không phải m ≤ 17.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(-1;2;3), d = |2(-1)-2+2(3)-8|/3 = 6/3 = 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
r = 4 ⇒ 17 - m - 4 = 16 ⇒ m = -3, chỉ có một giá trị m.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua P(4;3;3) với vectơ chỉ phương u=(2;1;2). Ta có IP=(6;0;3). Khoảng cách từ I đến Δ: IP×u = (0·2−3·1; 3·2−6·2; 6·1−0·2) = (−3;−6;6), độ dài bằng 9, |u|=3 nên d(I,Δ)=9/3=3. Gọi H là chân đường vuông góc từ I xuống Δ, H là trung điểm AB nên HA=AB/2=4. Bán kính R=√(IH²+HA²)=√(9+16)=5.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm $M(2;-1;3)$ đến mặt phẳng $(P):2x-y+2z+4=0$: $R=d(M,(P))=\frac{|2\cdot 2-(-1)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|4+1+6+4|}{3}=\frac{15}{3}=5$. Vậy $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=49$ là $I(1;3;-2)$. Bóng đèn nhỏ tại $A(4;7;-2)$. Khoảng cách $IA=\sqrt{(4-1{)}^2+(7-3{)}^2+(-2+2{)}^2}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5$. Vậy khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu là $5$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(0-2{)}^2+(2-4{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Mặt cầu tâm $I(2;4;-1)$: $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=24$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát sóng tại I(1;2;4) bán kính phủ 4 km, vùng phủ là mặt cầu tâm I bán kính 4.
a) Ranh giới là mặt cầu (x−1)²+(y−2)²+(z−4)²=16 (bán kính 4, không phải 4²=... vế phải phải bằng 4²=16). Phương trình trong đề có vế phải 4 (tức bán kính 2) → SAI.
b) IA = √((−1−1)²+(0−2)²+(0−4)²)=√(4+4+16)=√24≈4,90 km > 4 km → An ngoài vùng phủ → SAI.
c) IB = √((2−1)²+(0−2)²+(2−4)²)=√(1+4+4)=3 km < 4 km → Bình trong vùng phủ → ĐÚNG.
d) Đường thẳng AB qua A(−1;0;0) có VTCP u=AB=(3;0;2), |AB|=√13≈3,606 km. Khoảng cách từ I đến đường thẳng: AI=(2;2;4), AI×u=(4;8;−6), |AI×u|=√116≈10,770, nên d(I,(AB))=10,770/√13≈2,99 km < 4 km. Gọi t là quãng đường đi từ A, điểm M=A+(t/√13)u; IM²=24−2t·(14/√13)+t²=16 ⟹ t²−(28/√13)t+8=0 ⟹ t=(7,766±5,320)/2, nghiệm nhỏ t≈1,22 km. Vậy An bắt được sóng sau khi đi khoảng 1,22 km (lần đầu), không phải 2,38 km → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính phủ sóng là 4 km nên vế phải phải là 4²=16, không phải 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
IA=√24≈4,90 km > 4 km nên An ngoài vùng phủ sóng.
c) (AI giải đề cho tôi)
IB=3 km < 4 km nên Bình trong vùng phủ sóng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải t²−(28/√13)t+8=0 được t≈1,22 km (lần đầu bắt được sóng), không phải 2,38 km.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ tâm $I(1;2;20)$ đến mặt phẳng đáy $(Oxy)$ là $d(I,(Oxy))=20$ (m). Vì $20<R=50$, mặt phẳng $(Oxy)$ cắt mặt cầu, và vòm là phần mặt cầu phía trên mặt phẳng đáy. Đỉnh cao nhất của vòm có tung độ $z=20+50=70$ (m). Vậy chiều cao của vòm là $70-0=70$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cầu $4\pi R^2=100\pi \Rightarrow R^2=25$. Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=25$. Khai triển: $x^2+y^2+z^2-2x-6y+4z+(1+9+4-25)=0$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-6y+4z-11=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB: I(1;2;2). Bán kính R = AB/2 = √(4+16+16)/2 = 6/2 = 3. Phương trình mặt cầu: (x-1)²+(y-2)²+(z-2)²=9. Khớp đáp án B (khớp bảng đáp án cột mã đề 1204, câu 10 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bay: $P(t)=A+t\vec{u}=(-688+91t;-185+75t;8)$. Máy bay hiển thị trên ra đa khi $|OP|=417$, tức $|P(t){|}^2=417^2$. Ta có $|A{|}^2=688^2+185^2+8^2=507633$, $A\cdot \vec{u}=-688\cdot 91-185\cdot 75=-76483$, $|\vec{u}{|}^2=91^2+75^2=13906$. Phương trình: $13906t^2-152966t+333744=0\iff 6953t^2-76483t+166872=0$, có $\Delta =34765^2$, nên $t=3$ hoặc $t=8$. Vì máy bay hướng về đài kiểm soát ($A\cdot \vec{u}<0$), nó vào vùng ra đa tại $t=3$ và rời vùng (vị trí cuối cùng hiển thị) tại $t=8$: $C=A+8\vec{u}=(-688+728;-185+600;8)=(40;415;8)$. Vậy $a+b+c=40+415+8=463$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+c=0$ với tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-c}$. Từ $-2ax=-2x\Rightarrow a=1$; $-2by=4y\Rightarrow b=-2$; $-2cz=-6z\Rightarrow c=3$. Vậy tâm $I(1;-2;3)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+9+2}=\sqrt{16}=4$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 7: C).