Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-8x+10y-6z+49=0$ có tâm $I(4;-5;3)$. Bán kính thỏa $R^2=4^2+(-5{)}^2+3^2-49=16+25+9-49=1$, nên $R=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tiếp xúc với trục tung nên bán kính bằng khoảng cách từ tâm $I(1;-2;3)$ đến trục $Oy$: $R=\sqrt{x_I^2+z_I^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IB=\sqrt{(4-1{)}^2+(-4-0{)}^2+(-2+2{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Mặt cầu tâm $I(1;0;-2)$ có phương trình $(x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=25$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IB=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{18}$. Phương trình mặt cầu: $x^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=18$, khai triển: $x^2+y^2+z^2-2y+6z+1+9-18=0\iff x^2+y^2+z^2-2y+6z-8=0$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ là trung điểm $AB$: $I\left(\frac{1-3}{2};\frac{-2+8}{2};\frac{7-1}{2}\right)=I(-1;3;3)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $AB=\sqrt{(-4{)}^2+10^2+(-8{)}^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$, nên $R=3\sqrt{5}$, $R^2=45$. Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=45$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm $I=\left(\frac{0-2}{2};\frac{-1+2}{2};\frac{2+1}{2}\right)=(-1;\frac{1}{2};\frac{3}{2})$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $A{B}^2=(-2-0{)}^2+(2+1{)}^2+(1-2{)}^2=4+9+1=14$, nên $R^2=\frac{14}{4}=\frac{7}{2}$. Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{7}{2}$. Khớp đáp án A (các phương án B, D sai vì vế phải là $\frac{\sqrt{14}}{2}$ chứ không phải $R^2$; C sai tâm).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm $I(1;-3;2)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z+5=0$: $R=\frac{|1+2(-3)-2(2)+5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1-6-4+5|}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy $R^2=\frac{16}{9}$ và phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2+(z-2{)}^2=\frac{16}{9}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với hệ số của $x^2,y^2,z^2$ bằng nhau và bằng 1, không có các hạng tử chéo $xy,yz,zx$, và $a^2+b^2+c^2-d>0$. Xét A: $x^2+y^2+z^2+2x-2z-7=0$ có đủ $x^2,y^2,z^2$ hệ số bằng 1, không có hạng tử chéo. Hoàn thành bình phương: $(x+1{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=9$, là mặt cầu tâm $I(-1;0;1)$ bán kính $R=3>0$. Các phương án B, D có hệ số của $z^2$ hoặc $y^2$ âm (không phải mặt cầu); phương án C có hạng tử chéo $2xy-2yz$ (không phải mặt cầu). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tầm hoạt động 20 km tương ứng 2 đơn vị trong không gian $Oxyz$. Vật thể bị phát hiện khi khoảng cách từ điểm tới $O$ không vượt quá 2. $OM=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}>2$; $ON=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}>2$; $OP=\sqrt{1+1+2}=2\le 2$ (nằm trên mặt cầu bán kính 2); $OQ=3>2$. Vậy chỉ điểm $P\left(1;1;\sqrt{2}\right)$ bị Rada phát hiện.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-2{)}^2+(2-2{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{5}$. Mặt cầu tâm $I(2;2;0)$: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x=0$. Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ $I(1;-2;3)$ đến $(Oyz)$: $R=|1|=1$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x+2{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=4$ có tâm $I(-2;1;0)$, bán kính $R=2$. a) Đường kính $=2R=4\ne 8$ → sai. b) Thay $A(-1;3;0)$: $(-1+2{)}^2+(3-1{)}^2+0^2=1+4=5\ne 4$ → $A$ không thuộc mặt cầu → sai. c) Khoảng cách từ $I(-2;1;0)$ đến $(Oyz)$ (phương trình $x=0$) là $d=|-2|=2$ → đúng. d) $d(I,(P))=\frac{|-2+2(1)-2(0)-2|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{|-2|}{3}=\frac{2}{3}\ne R=2$ → mặt phẳng cắt mặt cầu, không tiếp xúc → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=2$ nên đường kính $=4\ne 8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(-1;3;0)$ vào phương trình: $1^2+2^2+0^2=5\ne 4$, nên $A$ không thuộc $(S)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(-2;1;0)$, khoảng cách đến $(Oyz)$ là $|-2|=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=\frac{|-2+2-0-2|}{3}=\frac{2}{3}\ne 2=R$, nên $(P)$ cắt $(S)$ chứ không tiếp xúc.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu đường kính $AB$ là trung điểm $I=\left(\frac{1+0}{2};\frac{0+2}{2};\frac{2+1}{2}\right)=(0,5;1;1,5)$, nên $a=0,5,b=1,c=1,5$. Bán kính: $A{B}^2=(0-1{)}^2+(2-0{)}^2+(1-2{)}^2=6$, nên $d=R^2=\frac{A{B}^2}{4}=\frac{6}{4}=1,5$. Do đó $T=2a-b+4c+2d=2(0,5)-1+4(1,5)+2(1,5)=1-1+6+3=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x+8y-2z-4=0$, ta có tâm $I(-a/2;-b/2;-c/2)=(2;-4;1)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2d}$ với $a=-4,b=8,c=-2,d=-4$: $R=\sqrt{16+64+4+8}=\sqrt{92}=2\sqrt{23}$... Kiểm tra lại: công thức $R=\sqrt{(-4{)}^2+8^2+(-2{)}^2-2(-4)}=\sqrt{16+64+4+8}=\sqrt{92}$. Tuy nhiên theo cách biến đổi: $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-1{)}^2=4+16+1+4=25$, suy ra $R=5$, tâm $I(2;-4;1)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (2A).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=OA=\sqrt{0^2+(-3{)}^2+4^2}=\sqrt{25}=5$. Mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính 5 có phương trình $x^2+y^2+z^2=25$. Các phương trình ở C, D có tâm khác $O$ nên sai; B sai vì $R^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm $M(2;-1;3)$ đến mặt phẳng $(P):2x-y+2z+4=0$: $R=d(M,(P))=\frac{|2\cdot 2-(-1)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|4+1+6+4|}{3}=\frac{15}{3}=5$. Vậy $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=49$ là $I(1;3;-2)$. Bóng đèn nhỏ tại $A(4;7;-2)$. Khoảng cách $IA=\sqrt{(4-1{)}^2+(7-3{)}^2+(-2+2{)}^2}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5$. Vậy khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu là $5$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(0-2{)}^2+(2-4{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Mặt cầu tâm $I(2;4;-1)$: $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=24$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ tâm $I(1;2;20)$ đến mặt phẳng đáy $(Oxy)$ là $d(I,(Oxy))=20$ (m). Vì $20<R=50$, mặt phẳng $(Oxy)$ cắt mặt cầu, và vòm là phần mặt cầu phía trên mặt phẳng đáy. Đỉnh cao nhất của vòm có tung độ $z=20+50=70$ (m). Vậy chiều cao của vòm là $70-0=70$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cầu $4\pi R^2=100\pi \Rightarrow R^2=25$. Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=25$. Khai triển: $x^2+y^2+z^2-2x-6y+4z+(1+9+4-25)=0$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-6y+4z-11=0$. Vậy đáp án A.