Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-6y-8z+4=0$ có tâm $I(2;3;4)$ và $R^2=2^2+3^2+4^2-4=25\Rightarrow R=5$. a) Sai vì bán kính là $R=5$ (số $25$ là $R^2$). b) Đường thẳng qua $I(2;3;4)$ vuông góc $(P)$ có VTCP $(2;1;2)$ nên phương trình là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$, không phải $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{2}$ (điểm $(0;2;2)$ không thuộc đường thẳng đó) → Sai. c) $d(I,(P))=\frac{|2\cdot 2+3+2\cdot 4-9|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{6}{3}=2$, bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$ → Đúng. d) Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ($6^2+8^2=10^2$), bán kính đường tròn nội tiếp $r_{in}=\frac{6+8-10}{2}=2$. Khi các cạnh tam giác tiếp xúc với mặt cầu, giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng $(ABC)$ là đường tròn nội tiếp bán kính $2$, nên $d(I,(ABC))=\sqrt{R^2-r_{in}^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(2;3;4)$, $R=\sqrt{4+9+16-4}=5$, không phải $25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{2}$ vì đường thẳng đi qua $I(2;3;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=2$, nên $r=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông có bán kính nội tiếp $r=2$, suy ra $d(I,(ABC))=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;y;z)$. Ta có $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;z-2)$ nên $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AM}=x(x-2)+y(y+2)+z(z-2)=x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=6$. Vì $M$ thuộc mặt cầu tâm $I(0;0;-2)$ bán kính $1$: $x^2+y^2+(z+2{)}^2=1\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-4z-3$. Thay vào: $-4z-3-2x+2y-2z=6\iff 2x-2y+6z+9=0$. Vậy $(P):2x-2y+6z+9=0$ và khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $\frac{9}{\sqrt{4+4+36}}=\frac{9}{2\sqrt{11}}\approx 1,36$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=AB=\sqrt{(0-2{)}^2+(1-1{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{8}$. Mặt cầu tâm $A(2;1;0)$: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=8$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y+4z+3=0$ có tâm $I(1;1;-2)$ và $R^2=1^2+1^2+(-2{)}^2-3=1+1+4-3=3$, nên $R=\sqrt{3}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-2=0$, ta có tâm $I(-1;2;-3)$ và $R^2=(-1{)}^2+2^2+(-3{)}^2-(-2)=1+4+9+2=16$, nên $R=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;2;0)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $d$: $\overrightarrow{IP}=(0;0;-3)$, $\overrightarrow{IP}\perp \vec{u}$ nên $d(I,d)=\frac{|\overrightarrow{IP}\times \vec{u}|}{|\vec{u}|}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$. Nửa dây cung $=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{14-9}=\sqrt{5}$, suy ra $AB=2\sqrt{5}$. Kiểm tra trực tiếp: thay phương trình của $d$ vào $(S)$ với $z=0$: $(1+t{)}^2+(2-2t{)}^2-2(1+t)-4(2-2t)=5t^2-5=0\Rightarrow t=\pm 1$, được $A(2;0;0)$, $B(0;4;0)$, $AB=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu thuộc trục $Ox$ nên có dạng $I(a;0;0)$. Vì cầu đi qua $A(3;1;0)$ và $B(5;5;0)$ nên $I{A}^2=I{B}^2$: $(3-a{)}^2+1^2=(5-a{)}^2+5^2\Rightarrow 9-6a+1=25-10a+25\Rightarrow 4a=40\Rightarrow a=10$. Bán kính bình phương $R^2=I{A}^2=(3-10{)}^2+1=50$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-10{)}^2+y^2+z^2=50$, tương ứng đáp án B. Kiểm tra: với $A$: $49+1=50$ đúng; với $B$: $25+25=50$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đơn vị tọa độ là mét nên $R=5$ km $=5000$ m. Mặt cầu $(S)$: $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=5000^2=25000000$. a) Sai vì $R^2=25000000\ne 25$. b) $IA=1000$ m $<5000$ m nên $A$ nằm trong mặt cầu → đúng. c) $IM=\sqrt{20^2+30^2+0^2}=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ được chiếu sáng → đúng. d) $IN=\sqrt{20^2+5^2+50^2}=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ vẫn được chiếu sáng; khẳng định 'không thể được chiếu sáng' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$R=5$ km $=5000$ m nên phương trình mặt cầu là $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=25000000$, không phải $=25$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{1000^2+0+0}=1000$ m $<5000$ m nên $A$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{20^2+30^2+0^2}=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ nằm trong vùng phủ sáng, được chiếu sáng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IN=\sqrt{20^2+5^2+50^2}=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ vẫn được chiếu sáng; khẳng định 'không thể được chiếu sáng' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I$ là trung điểm $AB$: $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+0}{2};\frac{3+5}{2}\right)=I(2;1;4)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{(3-1{)}^2+(0-2{)}^2+(5-3{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4+4+4}=\sqrt{3}$. Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-4{)}^2=3$, tức $x^2+y^2+z^2-4x-2y-8z+18=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;2;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2;0)$. Ta có $\overrightarrow{IP}=(0;0;-3)$, $\overrightarrow{IP}\times \vec{u}=(6;3;0)$ nên khoảng cách từ $I$ đến $d$ là $h=\frac{\sqrt{36+9}}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=3$. Độ dài dây $AB=2\sqrt{R^2-h^2}=2\sqrt{14-9}=2\sqrt{5}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu thuộc trục $Ox$ nên có dạng $I(a;0;0)$. Vì mặt cầu đi qua $A(3;1;0)$ và $B(5;5;0)$ nên $I{A}^2=I{B}^2$: $(3-a{)}^2+1^2=(5-a{)}^2+5^2$. Suy ra $9-6a+a^2+1=25-10a+a^2+25$, tức $10-6a=50-10a\Rightarrow 4a=40\Rightarrow a=10$. Bán kính $R^2=I{A}^2=(3-10{)}^2+1^2=49+1=50$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-10{)}^2+y^2+z^2=50$. Kiểm tra: $B(5;5;0)$: $(5-10{)}^2+25=50$ ✓. Các phương án khác sai: A có tâm không thuộc $Ox$; C có $R^2=5\sqrt{2}$ không phải bình phương bán kính; D có tâm $(4;3;0)$ không thuộc $Ox$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đơn vị tọa độ là mét, bán kính phủ sáng R = 5 km = 5000 m nên R² = 25 000 000 (m²).
a) Sai: phương trình mặt cầu đúng là $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=25000000$, không phải bằng 25 (đó là khi nhầm R = 5 m).
b) $IA=\sqrt{(1025-25{)}^2+0^2+0^2}=1000$ m $=1$ km $<5$ km nên $A$ nằm trong mặt cầu → đúng.
c) $IM=\sqrt{(45-25{)}^2+(60-30{)}^2+0^2}=\sqrt{400+900}=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ nằm trong vùng phủ sáng, được chiếu sáng → đúng.
d) $IN=\sqrt{(5-25{)}^2+(25-30{)}^2+(0-50{)}^2}=\sqrt{400+25+2500}=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ vẫn nằm trong vùng phủ sáng và được chiếu sáng; khẳng định 'không thể được chiếu sáng' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 5 km = 5000 m nên R² = 25 000 000, không phải 25. Phương trình đúng: $(x-25{)}^2+(y-30{)}^2+(z-50{)}^2=25000000$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=1000$ m $=1$ km $<5$ km nên $A$ nằm trong mặt cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{1300}\approx 36,06$ m $<5000$ m nên $M$ nằm trong vùng phủ sáng, được chiếu sáng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IN=\sqrt{2925}\approx 54,08$ m $<5000$ m nên $N$ nằm trong vùng phủ sáng và vẫn được chiếu sáng; khẳng định là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu dạng chuẩn $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$, so sánh với $x^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=16$ ta có tâm $I(0;3;-2)$ và $R=\sqrt{16}=4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x-5{)}^2+(y+4{)}^2+z^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$. So sánh: $a=5$, $b=-4$, $c=0$, nên $I(5;-4;0)$ và $R=3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4z-4=0$. Hoàn thành bình phương: $x^2-2x=(x-1{)}^2-1$ và $z^2-4z=(z-2{)}^2-4$. Do đó $(S)$ trở thành $(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2-1-4-4=0$, tức $(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=9$. Vậy tâm $I(1;0;2)$ và bán kính $R=3$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình:
- A: $x^2+y^2+z^2-6x+2y+4z+14=0$ có $R^2=(-3{)}^2+1^2+2^2-14=14-14=0$, suy ra tập hợp điểm là một điểm (không phải mặt cầu).
- B: $(x-2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2+9=0$ vô nghiệm vì vế trái luôn $\ge 9>0$.
- C: $x^2+y^2+z^2-2x+8y-2z+20=0$ có $R^2=(-1{)}^2+4^2+(-1{)}^2-20=18-20=-2<0$, vô nghiệm.
- D: $x^2+y^2+z^2-10=0\iff x^2+y^2+z^2=10$ là mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=\sqrt{10}$.
Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+z^2+2x-4y+8z+m=0$ có dạng mặt cầu với tâm $I(-1;2;-4)$ và $R^2=(-1{)}^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2-m=1+4+16-m=21-m$. Phương trình là mặt cầu khi và chỉ khi $R^2>0\iff 21-m>0\iff m<21$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(5;4;-3)$, bán kính $R=5$ có phương trình $(x-5{)}^2+(y-4{)}^2+(z+3{)}^2=25$ (do $z-(-3)=z+3$ và $R^2=25$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trung tâm mặt cầu là trung điểm MN: $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{-1+1}{2};\frac{2+4}{2}\right)=I(2;0;3)$. Bán kính $R=\frac{MN}{2}$ với $MN=\sqrt{(3-1{)}^2+(1+1{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, nên $R=\sqrt{3}$, $R^2=3$. Phương trình mặt cầu: $(x-2{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=3$. Phương án C sai tâm, D sai bán kính ($12$ thay vì $3$). A và B trùng nội dung (lỗi trùng lặp trong tài liệu gốc), chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=|OI|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$. Phương trình mặt cầu: $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=14$. Vậy đáp án A.