Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Người dùng không sử dụng được dịch vụ khi khoảng cách từ điểm đó đến $I(-6;-1;4)$ lớn hơn bán kính phủ sóng $2$ km. Tính khoảng cách: $IA=\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}<2$; $IB=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{3}<2$; $IC=\sqrt{0^2+3^2+(-2{)}^2}=\sqrt{13}>2$; $ID=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{3}<2$. Vậy chỉ có điểm $C$ nằm ngoài vùng phủ sóng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 41: Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$. Tâm $I(1;2;-1)$ (đổi dấu các hệ số của $x,y,z$). Bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+(-1{)}^2+2}=\sqrt{1+4+1+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Vậy $I(1;2;-1),R=2\sqrt{2}$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 42: Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R=\sqrt{9}=3$. Suy ra $I(1;2;-3)$, $R=3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 43: Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu dạng x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0 với điều kiện a²+b²+c²−d>0 (hệ số của x², y², z² bằng nhau và khác 0).
- A: x²+y²−z²−4x+2y+2z−3=0 có hệ số của z² là −1, khác hệ số của x², y², nên không phải mặt cầu.
- B: x²+2y²−z²−4x+2y+2z−10=0 có hệ số của y² là 2, không phải mặt cầu.
- C: x²+y²+z²−4x+2y+2z+3=0 có tâm I(2;−1;−1), R²=(−2)²+1²+1²−3=4+1+1−3=3>0, nên là mặt cầu bán kính R=√3.
- D: x²+y²+z²−4x+2y+2z+8=0 có R²=4+1+1−8=−2<0, không xác định mặt cầu.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 44: Cho A(1;1;2), B(3;1;0), mặt cầu đường kính AB. Tâm I là trung điểm AB: I(2;1;1). Bán kính R = ½·AB = ½·√((3−1)²+(1−1)²+(0−2)²) = ½·√8 = √2, nên R² = 2. Phương trình mặt cầu: (x−2)² + (y−1)² + (z−1)² = 2. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1;0;−1) và A(2;2;−3). Mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A. Bán kính R = IA = √((2−1)² + (2−0)² + (−3+1)²) = √(1+4+4) = 3. Phương trình mặt cầu: (x−1)² + y² + (z+1)² = 9. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$, ta có tâm $I(1;2;-1)$ và $R^2=1^2+2^2+(-1{)}^2+2=8$, suy ra $R=2\sqrt{2}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$. Suy ra $I(1;2;-3)$, $R=3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với điều kiện hệ số của $x^2,y^2,z^2$ bằng nhau và $R^2=a^2+b^2+c^2-d>0$. A, B có hệ số bậc hai không bằng nhau nên loại. Xét C: $x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z+3=0$ có tâm $I(2;-1;-1)$, $R^2=4+1+1-3=3>0$ nên là mặt cầu. Xét D: $R^2=4+1+1-8=-2<0$ nên không phải mặt cầu. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm I là trung điểm AB: I(2;1;1). Bán kính R = AB/2, với AB = √((3-1)²+0²+(0-2)²) = √8 = 2√2, nên R = √2, R² = 2. Phương trình mặt cầu: (x-2)² + (y-1)² + (z-1)² = 2. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-0{)}^2+(-3+1{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3$. Mặt cầu tâm $I(1;0;-1)$ có phương trình $(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=9$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(0;0;-3)$ tiếp xúc mặt phẳng $(P):2x-2y-z+12=0$ có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $(P)$: $R=\frac{|2\cdot 0-2\cdot 0-(-3)+12|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{15}{3}=5$. Vậy $(S):x^2+y^2+(z+3{)}^2=25$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Thử phương án B với tâm $I(1;3;2)$, bán kính $R=3$:
- $I{A}^2=(3-1{)}^2+(4-3{)}^2+(0-2{)}^2=4+1+4=9$ ✓
- $I{B}^2=(2-1{)}^2+(5-3{)}^2+(4-2{)}^2=1+4+4=9$ ✓
- $I{C}^2=(-1-1{)}^2+(1-3{)}^2+(1-2{)}^2=4+4+1=9$ ✓
- $I{D}^2=(3-1{)}^2+(5-3{)}^2+(3-2{)}^2=4+4+1=9$ ✓
Vậy bốn đỉnh cùng cách đều $I$ một khoảng $3$, nên mặt cầu ngoại tiếp là $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Các phương án khác có tâm khác nên không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$.
- Điểm $(0;0;0)$: $0+0+0-0-0-0=0$ → thuộc mặt cầu.
- Điểm $(1;2;3)$: $1+4+9-2-8-18=-14\ne 0$ → không thuộc mặt cầu.
- Điểm $(2;0;6)$: $4+0+36-4-0-36=0$ → thuộc mặt cầu.
Vậy có 2 điểm thuộc mặt cầu, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $(S)$ là $I(3;0;0)$ bán kính $R=3$; tâm $(S^{\prime })$ là $I^{\prime }(-2;0;0)$ bán kính $r=2$. Khoảng cách $I{I}^{\prime }=5=R+r=3+2$, nên hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M(x;y;z)$, ta có $M{A}^2=(x-1{)}^2+y^2+z^2$ và $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=(x-2)x+(y-1)(y-2)+(z-3)(z+3)=x^2-2x+y^2-3y+2+z^2-9$.

Biểu thức $M{A}^2+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=8$ trở thành:
$$3x^2+3y^2+3z^2-6x-6y-13=8\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=9.$$
Vậy $M$ thuộc mặt cầu $(S_1)$ tâm $I(1;1;0)$ bán kính $R=3$.

Mặt cầu $(S^{\prime })$ có tâm $O^{\prime }(3;3;2)$, bán kính $3$. Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao của hai mặt cầu (trừ hai phương trình):
$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2-\left[(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2\right]=0\iff x+y+z=5.$$
Khoảng cách từ $O^{\prime }$ đến mặt phẳng này: $d=\frac{|3+3+2-5|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

Bán kính đường tròn giao:
$$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}.$$
Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khoảng cách từ $A(2;0;1)$ đến $(Oxy)$ là $z_A=1$, nên bán kính $R=1$ và phương trình mặt cầu là $(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=1$. Đúng.
b) Tâm là trung điểm $I=\left(\frac{2+0}{2};\frac{0-2}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(1;-1;1)$, bán kính $R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{24}=\sqrt{6}$, nên $(S):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=6$. Đúng.
c) Thay $(1;2;3)$: $1+4+9-2-8-18=-14\ne 0$, điểm này không thuộc $(S)$ (mặc dù $(0;0;0)$ và $(2;0;6)$ thuộc). Sai.
d) Quả cầu tâm $I(12;20;50)$ bán kính 50 nên tiếp xúc mặt sàn $(Oxy)$ tại điểm có cao độ 0, phương trình $(x-12{)}^2+(y-20{)}^2+(z-50{)}^2=50^2$ mô tả đúng quả cầu resting trên sàn. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(2;0;1)$ đến $(Oxy)$ là 1 nên $R=1$, phương trình $(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(1;-1;1)$, $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{6}$, nên $(S):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=6$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(1;2;3)$ vào phương trình: $1+4+9-2-8-18=-14\ne 0$, nên điểm này không thuộc $(S)$; khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm cao 50 cm và bán kính 50 cm nên quả cầu tiếp xúc mặt sàn $(Oxy)$, phương trình đã cho đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14 (trang 13):

a) Sai. Thay $P(2;1;0)$ vào $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=16$: $(2-2{)}^2+(1-1{)}^2+(0+3{)}^2=9\ne 16$, nên $P$ không thuộc mặt cầu.

b) Sai. $x^2+y^2+z^2+2x-4z-1=0\iff (x+1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=6$, tâm $I(-1;0;2)$. Khi đó $OI=\sqrt{(-1{)}^2+0^2+2^2}=\sqrt{5}\ne 5$.

c) Sai. $I$ là trung điểm $AC$ với $A(-1;0;-2)$, $C(3;-4;0)$ nên $I(1;-2;-1)$. Mặt phẳng $(SBC)$ qua $S(1;2;-2)$, $B(-2;-3;1)$, $C(3;-4;0)$: $\overrightarrow{SB}=(-3;-5;3)$, $\overrightarrow{SC}=(2;-6;2)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(8;12;28)\sim (2;3;7)$, suy ra $(SBC):2x+3y+7z+6=0$. Khoảng cách từ $I$ đến $(SBC)$: $d=\frac{|2-6-7+6|}{\sqrt{4+9+49}}=\frac{5}{\sqrt{62}}$, nên $d^2=\frac{25}{62}\ne \frac{18}{17}$. Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc $(SBC)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=\frac{25}{62}$, không phải $\frac{18}{17}$.

d) Đúng. Bán kính Trái Đất $6300$ km ứng với $1$ đơn vị; vệ tinh ở độ cao $18900$ km nên bán kính quỹ đạo $=6300+18900=25200$ km $=4$ đơn vị. Quỹ đạo là mặt cầu tâm $O$ bán kính $4$: $x^2+y^2+z^2=16$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $P(2;1;0)$: $0+0+9=9\ne 16$ nên $P$ không thuộc mặt cầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(-1;0;2)$, $OI=\sqrt{5}\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SBC):2x+3y+7z+6=0$, $d(I,(SBC))=\frac{5}{\sqrt{62}}$, $d^2=\frac{25}{62}\ne \frac{18}{17}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính quỹ đạo $=\frac{6300+18900}{6300}=4$ đơn vị, nên quỹ đạo là $x^2+y^2+z^2=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+1=0$ có tâm $I(1;-2;0)$ và $R^2=1^2+(-2{)}^2-1=4\Rightarrow R=2$. a) Đúng. b) $IM=\sqrt{(1-1{)}^2+(1+2{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{13}\ne 2$ nên sai. c) Trung điểm $AB$ là $(1;0;-3)\ne I$ nên $AB$ không là đường kính, sai. d) $d(I,(P))=\frac{|1-2-0-2|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\ne 2$ nên mặt cầu cắt mặt phẳng, không tiếp xúc, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(1;-2;0)$, $R=\sqrt{1+4-1}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{0+9+4}=\sqrt{13}\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $AB$ là $(1;0;-3)\ne I(1;-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=\frac{|1-2-0-2|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\ne R=2$, mặt cầu cắt mặt phẳng chứ không tiếp xúc.

(AI giải đề cho tôi)
Trạm tại $I(1;3;7)$, bán kính phủ sóng $R=3$ km, vùng phủ sóng là mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=9$.
a) Sai: phương trình đề cho $(x+1{)}^2+(y+3{)}^2+(z+7{)}^2=9$ có tâm $(-1;-3;-7)\ne I$.
b) $IA=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-3{)}^2+(7-7{)}^2}=\sqrt{2}\approx 1,41<3$, nên $A$ trong vùng phủ sóng → đúng.
c) $IB=\sqrt{(5-1{)}^2+(6-3{)}^2+(7-7{)}^2}=\sqrt{16+9}=5>3$, nên $B$ ngoài vùng phủ sóng → đúng.
d) Khoảng cách lớn nhất từ $B$ đến vùng phủ sóng (mặt cầu) là $IB+R=5+3=8$ km → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng phải là $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=9$ vì tâm là $I(1;3;7)$, bán kính 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IA=\sqrt{2}<3$ nên $A$ nằm trong vùng phủ sóng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IB=5>3$ nên $B$ nằm ngoài vùng phủ sóng, không thể sử dụng dịch vụ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách lớn nhất từ $B$ đến vùng phủ sóng là $IB+R=5+3=8$ km.