Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu. Vì cầu đi qua $M,N,P$ nên $IM=IN=IP$. Từ $IM=IN$: $2\vec{I}\cdot (\vec{N}-\vec{M})=|N{|}^2-|M{|}^2=6-22=-16$ với $\vec{N}-\vec{M}=(0;-4;-4)$ suy ra $y+z=2$. Từ $IM=IP$: $2\vec{I}\cdot (\vec{P}-\vec{M})=14-22=-8$ với $\vec{P}-\vec{M}=(-4;-4;0)$ suy ra $x+y=1$. Vậy $I=(1-y;y;2-y)$. Tâm thuộc $(\alpha )$: $2(1-y)+3y-(2-y)+2=0\iff 2+2y=0\iff y=-1$. Suy ra $I=(2;-1;3)$ (thỏa mãn $(\alpha )$: $4-3-3+2=0$). Bán kính $R=IM=\sqrt{(2-2{)}^2+(-1-3{)}^2+(3-3{)}^2}=4$. Kiểm tra: $IN=\sqrt{0+0+16}=4$, $IP=\sqrt{16+0+0}=4$. Vậy bán kính mặt cầu bằng $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(x;y;z)$. Từ $M{A}^2=36$, $M{B}^2=49$, $M{C}^2=144$, $M{D}^2=576$ ta có hệ:
$(x+1{)}^2+(y-6{)}^2+(z-3{)}^2=36$; $(x-4{)}^2+(y-8{)}^2+(z-1{)}^2=49$; $(x-9{)}^2+(y-6{)}^2+(z-7{)}^2=144$; $(x+15{)}^2+(y-18{)}^2+(z-7{)}^2=576$.

Lấy phương trình (2) trừ (1): $-10x-4y+4z+35=13\Rightarrow 5x+2y-2z=11$.
Lấy (3) trừ (1) (số hạng theo $y$ triệt tiêu): $-20x-8z+120=108\Rightarrow 5x+2z=3$.
Lấy (4) trừ (3) (số hạng theo $z$ triệt tiêu): $48x-24y+432=432\Rightarrow y=2x$.

Thế $y=2x$ và $z=\frac{3-5x}{2}$ vào $5x+2y-2z=11$: $5x+4x-(3-5x)=11\Rightarrow 14x=14\Rightarrow x=1$. Suy ra $y=2$, $z=-1$.

Thử lại: $M{A}^2=(2{)}^2+(-4{)}^2+(-4{)}^2=36$ ✓; $M{B}^2=(-3{)}^2+(-6{)}^2+(2{)}^2=49$ ✓; $M{C}^2=(-8{)}^2+(4{)}^2+(-8{)}^2=144$ ✓; $M{D}^2=(16{)}^2+(-16{)}^2+(-8{)}^2=576$ ✓.

Vậy $M(1;2;-1)$ và $T=x_M+y_M+z_M=1+2-1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện bắt tín hiệu tốt nhất: $AE\le 11$. Ta có $A{E}^2=(-3-3{)}^2+(8-1{)}^2+(m-1{)}^2=36+49+(m-1{)}^2=85+(m-1{)}^2\le 121$, suy ra $(m-1{)}^2\le 36$, tức $-6\le m-1\le 6$ hay $-5\le m\le 7$. Các giá trị nguyên của $m$: $-5,-4,\dots ,7$, gồm $7-(-5)+1=13$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I(-64;128;64)$ là đài kiểm soát. Máy bay $N$ hiển thị trên rada nên $N$ thuộc mặt cầu $(S):(x+64{)}^2+(y-128{)}^2+(z-64{)}^2=500^2$. Vì $M,N$ thuộc đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;1)$, viết $M=N+s\vec{u}$ nên $MN=|s|\sqrt{3}$. Đặt $f(x;y;z)=x-2y+2z-1458$, với $\vec{n}=(1;-2;2)$. Vì $\vec{n}\cdot \vec{u}=1-2+2=1$ nên $f(M)=f(N)+s(\vec{n}\cdot \vec{u})=f(N)+s$. Do $M\in (P)$ nên $f(M)=0$, suy ra $f(N)=-s$. Ta có $f(I)=-64-256+128-1458=-1650$. Với $N$ thuộc mặt cầu bán kính $500$ tâm $I$: $|f(N)-f(I)|\le \Vert \vec{n}\Vert \cdot 500=3\cdot 500=1500$, tức $-3150\le f(N)\le -150$. Suy ra $-3150\le -s\le -150$, tức $s\in [150;3150]$. Khoảng cách lớn nhất đạt khi $s=3150$: $M{N}_{\max }=3150\sqrt{3}\approx 5455,96\approx 5456$ km. Kiểm tra: khi $s=3150$ thì $f(N)=-3150$, tức $N=I-\frac{500}{3}(1;-2;2)$ thuộc mặt cầu; khi đó $M=N+3150\vec{u}$ thỏa $f(M)=-3150+3150=0$ nên $M\in (P)$. Vậy đáp án là $5456$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=4$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)$. So sánh: $a=-1$, $b=2$, $c=-3$, bán kính $R=2$. Vậy tâm mặt cầu là $I(-1;2;-3)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+8z+17=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với tâm $I(a;b;c)$. Suy ra $a=\frac{4}{2}=2$, $b=\frac{2}{2}=1$, $c=\frac{-8}{2}=-4$. Vậy $I(2;1;-4)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+(z+2{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)=(1;-4;-2)$ và $R^2=9\Rightarrow R=3$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+c=0$ với $a=1,b=1,c=4$. Đây là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2-c>0$, tức $1+1+16-4=6-m>0\iff m<6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm $I=\left(\frac{1-3}{2};\frac{-2+8}{2};\frac{7-1}{2}\right)=(-1;3;3)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $A{B}^2=(-4{)}^2+10^2+(-8{)}^2=16+100+64=180$, nên $R^2=45$. Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=45$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(5-1{)}^2+(-3+4{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18}$. Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-4;3)$: $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+(z-3{)}^2=18$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ bán kính $R=3$ là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=3^2=9$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh hải đăng $I(21;35;50)$, bán kính vùng phủ sáng $R=4\text{ km}=4000$ m.
a) Mặt cầu ranh giới vùng phủ sáng tâm $I$ bán kính 4000 m: $(x-21{)}^2+(y-35{)}^2+(z-50{)}^2=16000000$, không phải $=16$. Sai.
b) $I{D}^2=(5121-21{)}^2+(658-35{)}^2+(0-50{)}^2=5100^2+623^2+50^2=26400629$, nên $ID\approx 5138,16$ m $>4000$ m → người ở ngoài vùng phủ sáng. Sai.
c) Vùng sáng trên mặt biển là đường tròn giao của mặt cầu với $(Oxy)$, bán kính $r=\sqrt{4000^2-50^2}=\sqrt{15997500}\approx 3999,7$ m. Đúng.
d) Chân hải đăng $H(21;35;0)$, $DH=\sqrt{5100^2+623^2}=\sqrt{26398129}\approx 5137,91$ m. Điểm đầu tiên trong vùng sáng cách $D$ một đoạn $t=DH-r\approx 5137,91-3999,69=1138,22$ m. Tốc độ $7\times 1852=12964$ m/h, thời gian $=\frac{1138,22}{12964}\times 60\approx 5,27$ phút. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính phải là 4000 m nên phương trình là $(x-21{)}^2+(y-35{)}^2+(z-50{)}^2=16000000$, không phải $=16$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$ID\approx 5138,16$ m $>4000$ m nên người ở ngoài vùng phủ sáng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính vùng sáng trên mặt biển $\sqrt{4000^2-50^2}\approx 3999,7$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $\approx 1138,22$ m với tốc độ $12964$ m/h mất $\approx 5,27$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6-m$. Đây là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=6-m>0$, tức $m<6$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1,2,3,4,5\}$, có 5 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu có tâm $I(1;-3;2)$ nên $a=1,b=-3,c=2$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(5-1{)}^2+(-1+3{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}$, nên $R^2=24$. Do đó $T=a+b+c+R^2=1-3+2+24=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;0)$ vì tâm nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Vì $I$ cách đều $A,B,C$ nên $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2$.

Từ $I{A}^2=I{B}^2$: $(a-1{)}^2+(b-2{)}^2+16=(a-1{)}^2+(b+3{)}^2+1\Rightarrow b^2-4b+20=b^2+6b+10\Rightarrow b=1$.

Từ $I{A}^2=I{C}^2$: $(a-1{)}^2+(b-2{)}^2+16=(a-2{)}^2+(b-2{)}^2+9\Rightarrow a^2-2a+17=a^2-4a+13\Rightarrow a=-2$.

Vậy $I(-2;1;0)$, bán kính $R^2=(-2-1{)}^2+(1-2{)}^2+(0+4{)}^2=9+1+16=26$, nên $R=\sqrt{26}$.

Đường kính $l=2\sqrt{26}\approx 10,20$.

(AI giải đề cho tôi)
Ngọn hải đăng phủ sáng trong phạm vi mặt cầu tâm $I(21;35;50)$ bán kính $R=4km=4000m$. Người đi biển đi trên đoạn thẳng từ $I$ đến $D(5121;658;0)$, vectơ chỉ phương $\overrightarrow{ID}=(5100;623;-50)$. Điểm cuối cùng nhìn thấy ánh sáng là giao điểm của đường thẳng $ID$ với mặt cầu, gần $D$ hơn. Điểm $M=I+t\overrightarrow{ID}$ thuộc mặt cầu khi $|MI|=4000$, tức $t^2\cdot |\overrightarrow{ID}{|}^2=4000^2$. Ta có $|\overrightarrow{ID}{|}^2=5100^2+623^2+50^2=26010000+388129+2500=26400629$, nên $t=\frac{4000}{\sqrt{26400629}}\approx \frac{4000}{5138,154}\approx 0,77849$. Cao độ $c=50-50t=50(1-0,77849)\approx 11,08\approx 11$ (mét).

(AI giải đề cho tôi)
Đơn vị hóa: bán kính Trái Đất là 8 (nghìn km), tức 1 đơn vị = 800 km. Điểm A(5;√23;4) nằm trên mặt cầu x²+y²+z²=64. Đường tròn vĩ tuyến qua A nằm trong mặt phẳng z=4, tâm C(0;0;4), bán kính √(64−16)=4√3. Vectơ CA=(5;√23;0), vectơ tiếp tuyến tại A trong mặt phẳng z=4 là u=(−√23;5;0)/(4√3) (đơn vị). Tàu bay 20 phút = 1200 s với tốc độ 8 km/s nên quãng đường 9600 km = 12 đơn vị. Vị trí tàu: P = A + 12u = (5−√69; √23+5√3; 4). Đường xích đạo là đường tròn tâm O bán kính 8 trong mặt phẳng (Oxy). Khoảng cách từ P đến đường tròn xích đạo: tính x²+y² = (5−√69)² + (√23+5√3)² = 25−10√69+69+23+75+10√69 = 192, nên √(x²+y²)=8√3. Khoảng cách ngắn nhất = √((8√3−8)² + 4²) = 8√((√3−1)²+1/4) = 8√(4,25−2√3) ≈ 7,0921 đơn vị. Đổi ra km: 7,0921 × 800 ≈ 5673,7 ≈ 5674 km.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $r$ là bán kính quả bóng. Chọn hệ trục tọa độ với hai bức tường là các mặt phẳng $x=0$, $y=0$ và nền nhà là $z=0$. Vì bóng tiếp xúc với cả ba mặt phẳng nên tâm bóng là $I(r;r;r)$. Điểm $M$ trên bóng có khoảng cách đến hai tường và nền lần lượt là 17, 18, 21 cm nên $M(17;18;21)$. Vì $M$ thuộc mặt cầu $(I;r)$: $(17-r{)}^2+(18-r{)}^2+(21-r{)}^2=r^2$. Khai triển: $289+324+441-112r+3r^2=r^2\Rightarrow 2r^2-112r+1054=0\Rightarrow r^2-56r+527=0$. $\Delta =56^2-4\cdot 527=3136-2108=1028$, $\sqrt{1028}\approx 32,0624$, nên $r=\frac{56-\sqrt{1028}}{2}\approx 11,9688$ (nhận nghiệm nhỏ vì đường kính bóng tiêu chuẩn 23–24,5 cm). Vậy đường kính $2r\approx 23,9376\approx 23,9$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$. Tâm $I=(-a/2;-b/2;-c/2)=(1;2;-1)$. Bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+(-1{)}^2-(-2)}=\sqrt{1+4+1+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Vậy chọn A.