Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(-1;2;-3)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-(-1){)}^2+(y-2{)}^2+(z-(-3){)}^2=3^2$, tức $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=9$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu đường kính AB là trung điểm I = ((1-3)/2; (-2+8)/2; (7-1)/2) = (-1;3;3) nên a đúng. AB = (-4;10;-8) nên AB² = 16+100+64 = 180, R = √180 = 3√5 ≈ 6,7 ≠ 5 nên b sai. Vì R ≠ 5 nên phương trình (x+1)²+(y-3)²+(z-3)² = 25 sai (đúng phải là = 180). Khoảng cách từ A(1;-2;7) đến (P): d = |1 - 2(-2) + 3·7 - 1|/√(1+4+9) = 25/√14 ≈ 6,68 ≠ 3 nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB: I(-1;3;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/2 = √180/2 = 3√5 ≈ 6,7 ≠ 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là (x+1)²+(y-3)²+(z-3)² = 180, không phải 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P)) = |1+4+21-1|/√14 = 25/√14 ≈ 6,68 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=AI=\sqrt{(2-1{)}^2+(3-2{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{3}$. Mặt cầu tâm $A(2;3;4)$: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0$, ta có tâm $I(-2;1;-1)$ (đổi dấu các hệ số $4x,-2y,2z$). Bán kính $R=\sqrt{(-2{)}^2+1^2+(-1{)}^2-(-3)}=\sqrt{4+1+1+3}=\sqrt{9}=3$. Vậy $I(-2;1;-1)$, $R=3$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) (\vec{AB}\)=(2;-2;2)parallel(1;-1;1), đường thẳng qua A(-1;0;1): (x+1)/1 = y/(-1) = (z-1)/1 — đúng. b) Tâm I(0;-1;2), R²=|AB|²/4=12/4=3, phương trình: x²+(y+1)²+(z-2)²=3 ⇔ x²+y²+z²+2y-4z+2=0, khác đề (hằng số -2) — sai. c) d(A,(P))=|-3+0+1-4|/√11=6/√11=6√11/11 là bán kính, đường kính = 12√11/11 — sai. d) Tâm C=(1+3t;-2+t;3+t) trên đường thẳng qua B vuông góc (P); R=d(C,(P))=|t|√11 và CA²=11t²+12t+12=11t² ⇒ t=-1, R=√11 — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(\vec{AB}\)=(2;-2;2) nhận (1;-1;1) làm VTCP, đường thẳng qua A(-1;0;1): (x+1)/1=y/(-1)=(z-1)/1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(0;-1;2), R²=3 nên x²+(y+1)²+(z-2)²=3 ⇔ x²+y²+z²+2y-4z+2=0, không khớp phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R=d(A,(P))=6/√11=6√11/11, nên đường kính bằng 12√11/11 chứ không phải 6√11/11.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm C=(1+3t;-2+t;3+t), R=d(C,(P))=|t|√11 và CA²=11t²+12t+12=11t² ⇒ t=-1 ⇒ R=√11.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu cách đều các mặt của khối lập phương cạnh 10 cm một khoảng 1 cm nên tâm là tâm lập phương $I(5;5;5)$ và bán kính $R=5-1=4$ cm. Phương trình: $(x-5{)}^2+(y-5{)}^2+(z-5{)}^2=16\iff x^2+y^2+z^2-10x-10y-10z+59=0$. Suy ra $a=b=c=5$, $d=59$. Vậy $a+b+c-d=15-59=-44$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt cầu $(S):(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(z-10{)}^2=109$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ nên tâm $I(32;50;10)$ và bán kính $R=\sqrt{109}$ (mét).

b) Hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt sân $z=0$ là điểm $J$ có cùng hoành độ và tung độ với $I$, còn $z_J=0$, tức $J(32;50;0)$.

c) Vì $M\in (S)$ và $M$ nằm trên mặt phẳng $z=0$ nên tọa độ $M(x;y;0)$ thỏa mãn:
$$(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(0-10{)}^2=109\Rightarrow (x-32{)}^2+(y-50{)}^2=9.$$
Khoảng cách từ $M$ đến $J$:
$$MJ=\sqrt{(x-32{)}^2+(y-50{)}^2+(0-0{)}^2}=\sqrt{9}=3\text{ (m)}.$$
Vậy $MJ=3$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+c=0$ với $a=1,b=1,c=4$. Đây là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=a^2+b^2+c^2-c>0$, tức $R^2=1+1+16-m=18-m>0$... Kiểm tra lại bằng cách hoàn thành bình phương: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6-m$. Để là mặt cầu cần bán kính dương: $6-m>0\iff m<6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IM=\sqrt{4^2+0^2+3^2}=5$. Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+(z+3{)}^2=25$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $I(2;-1;1)$ đến $(P):3x+y+z-17=0$ là $R=\frac{|3\cdot 2+(-1)+1-17|}{\sqrt{9+1+1}}=\frac{11}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}$. a) $IH\perp (P)$ nên vecto chỉ phương của $IH$ là vecto pháp tuyến $(3;1;1)$, phương trình $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$ → đúng. b) $R=\sqrt{11}\ne 11$ → sai. c) $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=11\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-5=0\ne$ phương trình đề đưa $(-7)$ → sai. d) $H=I+\frac{R}{|\vec{n}|}\vec{n}=I+(3;1;1)=(5;0;2)$, hoành độ bằng 5 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$IH$ vuông góc với $(P)$ nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến $(3;1;1)$ của $(P)$, qua $I(2;-1;1)$: $\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=d(I,(P))=\frac{|6-1+1-17|}{\sqrt{11}}=\frac{11}{\sqrt{11}}=\sqrt{11}\ne 11$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=11$ tức $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-5=0$, không phải $-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$H=I+\frac{R}{|\vec{n}|}\vec{n}=(2;-1;1)+(3;1;1)=(5;0;2)$, hoành độ bằng 5.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=49$ có tâm $I(1;3;-2)$, bán kính $R=7$. Bóng đèn nhỏ tại $P(4;7;-2)$. Khoảng cách $IP=\sqrt{(4-1{)}^2+(7-3{)}^2+(-2+2{)}^2}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5$. Vậy khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu là $5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ranh giới vùng phủ sáng là mặt cầu tâm I(20;40;60), bán kính R = 3 km = 3000 m (đổi về đơn vị mét vì đề cho đơn vị trên các trục là mét). Phương trình mặt cầu: $(x-20{)}^2+(y-40{)}^2+(z-60{)}^2=3000^2=9000000$.

b) Tính khoảng cách từ M(420;340;0) đến I:
$$IM=\sqrt{(420-20{)}^2+(340-40{)}^2+(0-60{)}^2}=\sqrt{400^2+300^2+60^2}=\sqrt{160000+90000+3600}=\sqrt{253600}\approx 503,6\text{ m}.$$
Vì $IM\approx 503,6\text{ m}<3000\text{ m}=R$ nên M nằm trong vùng phủ sáng của hải đăng. Vậy người đi biển có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(0-2{)}^2+(2-4{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Mặt cầu tâm $I(2;4;-1)$: $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=24$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$. So sánh $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=1$ với dạng tổng quát: $a=2$, $b=2$, $c=-1$ (do $z+1=z-(-1)$). Vậy tâm $I(2;2;-1)$, bán kính $R=1$. Kết quả trùng với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1122 (Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3M{A}^2-M{B}^2-M{C}^2=|M{|}^2+M\cdot (-6A+2B+2C)+3|A{|}^2-|B{|}^2-|C{|}^2$. Với $A(1;2;1),B(2;0;1),C(3;-1;2)$: $-6A+2B+2C=(4;-14;0)$, hằng số $=18-5-14=-1$. Vậy biểu thức $f(M)=x^2+y^2+z^2+4x-14y-1$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;5;2)$, bán kính $r=\sqrt{3}$, nên $x^2+y^2+z^2=10y+4z-26$. Do đó $f(M)=4x-4y+4z-27=4(x-y+z)-27$. Trên mặt cầu, $x-y+z$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{IM}=-\frac{r}{|(1;-1;1)|}(1;-1;1)=-(1;-1;1)$, tức $M=I-(1;-1;1)=(-1;6;1)$. Kiểm tra: $(-1{)}^2+(6-5{)}^2+(1-2{)}^2=3$ ✓. Khi đó $P=x+y+2z=-1+6+2=7$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1122, Phần 3, câu 1 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng đáp án trang 9 (bản màu) ghi rõ mã đề 1122, Phần 3, câu 4 là 415 (trang 10 bị thiếu ô nhưng không mâu thuẫn). Kiểm tra độc lập: khối cầu $R=5$ dm, hai mặt phẳng cách tâm $3$ dm nên mỗi phần bị cắt là chỏm cầu chiều cao $h=5-3=2$ dm. Thể tích một chỏm: $V=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}=\frac{\pi \cdot 4\cdot 13}{3}=\frac{52\pi }{3}$ dm³. Hai chỏm: $\frac{104\pi }{3}$ dm³. Thể tích khối cầu: $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500\pi }{3}$ dm³. Thể tích chiếc lu: $V=\frac{500\pi }{3}-\frac{104\pi }{3}=132\pi \approx 414,69$ dm³ $\approx 415$ lít (1 dm³ = 1 lít). Kết quả khớp đáp án nguồn 415.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển biểu thức: $3M{A}^2-M{B}^2-M{C}^2=|M{|}^2+M\cdot (-6A+2B+2C)+(3|A{|}^2-|B{|}^2-|C{|}^2)$. Với $A(1;2;1),B(2;0;1),C(3;-1;2)$: $-6A+2B+2C=(4;-14;0)$ và hằng số $=18-5-14=-1$. Vậy $f(M)=x^2+y^2+z^2+4x-14y-1=(x+2{)}^2+(y-7{)}^2+z^2-50$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;5;2)$, bán kính $R=\sqrt{3}$. $f(M)$ nhỏ nhất khi $M$ gần điểm $K(-2;7;0)$ nhất, tức $M$ nằm trên đoạn $IK$: $\overrightarrow{IK}=(-2;2;-2)$, $|IK|=2\sqrt{3}$, nên $M=I+\frac{R}{|IK|}\overrightarrow{IK}=I+\frac{1}{2}(-2;2;-2)=(-1;6;1)$. Khi đó $P=x+y+2z=-1+6+2=7$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1121, Phần 3 câu 2 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$. So sánh với $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=1$ ta được $a=2$, $b=2$, $c=-1$ (vì $z+1=z-(-1)$). Vậy tâm $I(2;2;-1)$, bán kính $R=1$. Khớp với đáp án B và bảng đáp án mã đề 1121 (câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d đi qua P(1;0;0), vtcp u=(1;-1;2) (vì -y=t ⇒ y=-t).

a) Điểm M(1+t; -t; 2t) trên d. Khoảng cách từ A(0;1;3) đến d: AP=(1;-1;-3), AP×u = (-5;-5;0), |AP×u|=5√2, |u|=√6 ⇒ d(A,d)=5√2/√6=5/√3, d²=25/3. Độ dài dây giao tuyến (khoảng cách xa nhất giữa hai điểm trong vùng phủ sóng trên d) = 2√(25-25/3)=2√(50/3)=10√6/3 ≈ 8,16 km ≠ 5√6/3 ≈ 4,08 km ⇒ ý a SAI.

b) AM=(1+t; -t-1; 2t-3), AM·u = (1+t)+(t+1)+2(2t-3)=6t-4=0 ⇒ t=2/3 ⇒ H(5/3; -2/3; 4/3). Hoành độ của H là 5/3 ≠ -2/3 (chỉ tung độ mới bằng -2/3) ⇒ ý b SAI.

c) Từ -y=t ⇒ y=-t, nên vtcp của d là (1;-1;2) ⇒ ý c ĐÚNG.

d) Mặt cầu tâm A(0;1;3), bán kính 5: x²+(y-1)²+(z-3)²=25 ⇒ ý d ĐÚNG.

Khớp đáp án nguồn: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
d(A,d)=5/√3 ⇒ dây giao tuyến dài 2√(25-25/3)=10√6/3 ≈ 8,16 km, không phải 5√6/3 ≈ 4,08 km.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
H(5/3; -2/3; 4/3), hoành độ bằng 5/3 ≠ -2/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ -y=t ⇒ y=-t nên vtcp của d là (1;-1;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm A(0;1;3), bán kính 5: x²+(y-1)²+(z-3)²=25.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2-200x-600y-4000z+4099900=0$. Tâm $I(100;300;2000)$, bán kính $R=\sqrt{100^2+300^2+2000^2-4099900}=\sqrt{10000+90000+4000000-4099900}=\sqrt{100}=10$. Khớp với đáp án nguồn (đề 1220, Phần III câu 1: 10).