Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2+z^2-4x+2z-6y-2=0$, ta có $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+1{)}^2=4+9+1+2=16$. Vậy tâm $I(2;3;-1)$, $P=a+b+c=2+3-1=4$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1220, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Quả cầu nằm trên mặt sàn (mặt phẳng $Oxy$) nên tiếp xúc với $Oxy$ tại điểm có cao độ $z=0$. Tâm $I(12;20;50)$ có khoảng cách tới mặt phẳng $Oxy$ bằng 50, do đó bán kính $R=50$ cm. Phương trình mặt cầu: $(x-12{)}^2+(y-20{)}^2+(z-50{)}^2=50^2$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 6, mã đề 1220: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z-2=0$, ta có tâm $I(a;b;c)$ với $a=-\frac{-4}{2}=2$, $b=-\frac{-6}{2}=3$, $c=-\frac{2}{2}=-1$. Bán kính $R=\sqrt{4+9+1+2}=4>0$ nên đây là mặt cầu. Khi đó $P=a+b+c=2+3-1=4$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Quả cầu nằm trên mặt sàn (mặt phẳng $Oxy$) nên tiếp xúc với mặt sàn tại điểm có cao độ $z=0$. Tâm $I(12;20;50)$ cách mặt sàn một khoảng bằng 50 cm, do đó bán kính quả cầu $R=50$ cm. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(12;20;50)$, bán kính 50 nên phương trình là $(x-12{)}^2+(y-20{)}^2+(z-50{)}^2=50^2$. Kết quả trùng với đáp án D trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng d có VTCP u=(1;-1;2), điểm đi qua P0(1;0;0). Điểm M trên d: M(1+t; -t; 2t). a) Vectơ AM=(1+t; -t-1; 2t-3). AM.u = (1+t)+(t+1)+2(2t-3)=6t-4=0 → t=2/3, H(5/3; -2/3; 4/3). Khoảng cách d(A,d)=|AH|=√(25/9·3)=5√3/3 < 5 nên d cắt mặt cầu. Dây cung = 2√(R²−d²)=2√(25−25/3)=2√(50/3)=10√6/3 ≠ 5√6/3 → a sai. b) u=(1;-1;2) đúng là VTCP của d → đúng. c) H có hoành độ 5/3, không phải −2/3 (−2/3 là tung độ) → sai. d) Mặt cầu tâm A(0;1;3) bán kính 5: x²+(y−1)²+(z−3)²=25 → đúng. Đáp án khớp mã đề 1210: S D S D.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(A,d)=5√3/3, dây cung trong mặt cầu dài 2√(25−25/3)=10√6/3, không phải 5√6/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình d, VTCP u=(1;-1;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
H=(5/3; -2/3; 4/3), hoành độ bằng 5/3 chứ không phải −2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm A(0;1;3), R=5: x²+(y−1)²+(z−3)²=25.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2-200x-600y-4000z+4099900=0$ có tâm $I(100;300;2000)$. Bán kính: $R^2=100^2+300^2+2000^2-4099900=10000+90000+4000000-4099900=100$, nên $R=10$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1210, câu 5: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Khối trụ: bán kính đáy $r=3,3$ cm, chiều cao $h=10$ cm nên $V_{trụ}=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3,3^2\cdot 10=108,9\pi$ (cm${}^3$).

Khối chỏm cầu: chu vi đường tròn lớn $2\pi R=10\pi \Rightarrow R=5$ cm. Chỏm cầu chứa đường tròn lớn, mặt cắt chung với đáy trụ có bán kính $3$ cm. Khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng cắt: $d=\sqrt{R^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$ cm. Vì chỏm chứa đường tròn lớn nên chiều cao chỏm $h_c=R+d=9$ cm.

Thể tích chỏm cầu: $V_{chỏm}=\frac{\pi h_c^2(3R-h_c)}{3}=\frac{\pi \cdot 81\cdot (15-9)}{3}=162\pi$ (cm${}^3$).

Tổng thể tích: $V=108,9\pi +162\pi =270,9\pi \approx 851,06\approx 851$ cm${}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 851.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính khối cầu: chu vi đường tròn lớn $2\pi R=9\pi \Rightarrow R=4,5$ cm. Mặt cắt chung có bán kính $r=2,5$ cm, cách tâm khối cầu khoảng $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{20,25-6,25}=\sqrt{14}$ cm. Vì chỏm cầu chứa đường tròn lớn nên chiều cao chỏm $h=R+d=4,5+\sqrt{14}$ cm. Thể tích chỏm: $V_1=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}=\frac{\pi (4,5+\sqrt{14}{)}^2(9-\sqrt{14})}{3}\approx 374,05$ cm³. Thể tích khối trụ: bán kính $2,7$ cm, chiều cao $9$ cm nên $V_2=\pi \cdot 2,7^2\cdot 9=65,61\pi \approx 206,14$ cm³. Tổng $V=V_1+V_2\approx 580,2\approx 580$ cm³, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu là $I(22;4;13)$, bán kính $R=\sqrt{194}$. Hình chiếu của $I$ xuống mặt sân $z=0$ là $J(22;4;0)$. Vì $M$ nằm trên mặt cầu và $z_M=0$ nên $(x_M-22{)}^2+(y_M-4{)}^2+(0-13{)}^2=194\Rightarrow (x_M-22{)}^2+(y_M-4{)}^2=194-169=25$. Mặt khác $M{J}^2=(x_M-22{)}^2+(y_M-4{)}^2+(z_M-0{)}^2=25+0=25$, suy ra $MJ=5$ (mét). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 5.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu (S) là $I(22;4;13)$, bán kính $R^2=194$. Hình chiếu của $I$ xuống mặt sân $z=0$ là $J(22;4;0)$, suy ra $IJ=13$. Vì $M$ nằm trên mặt cầu và trên mặt phẳng $z=0$, tập hợp các vị trí của $M$ là giao tuyến của mặt cầu với mặt sân: đường tròn tâm $J$ nằm trong mặt phẳng $z=0$. Tam giác $IMJ$ vuông tại $J$ nên $M{J}^2=I{M}^2-I{J}^2=R^2-I{J}^2=194-169=25$, do đó $MJ=5$ (mét). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 5.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=9$ có tâm $I(1;-2;0)$, bán kính $R=3$. a) Trên trục $Oz$ có $x=y=0$, thay vào: $1+4+z^2=9\Rightarrow z^2=4\Rightarrow z=\pm 2$, nên $(S)$ cắt $Oz$ tại $(0;0;2)$ và $(0;0;-2)$ → đúng. b) Thay $O(0;0;0)$: $1+4+0=5\ne 9$ → sai. c) Đúng theo phương trình. d) $IM=\sqrt{0+0+16}=4>3$ nên $M$ nằm bên ngoài mặt cầu → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=y=0$: $1+4+z^2=9\Rightarrow z=\pm 2$, hai điểm $(0;0;2)$, $(0;0;-2)$ phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IO=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\ne 3$, nên $O$ không thuộc mặt cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chuẩn, tâm $I(1;-2;0)$, $R=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{(1-1{)}^2+(-2+2{)}^2+(4-0{)}^2}=4>3$, nên $M$ nằm bên ngoài mặt cầu.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay nằm trên đường thẳng $d:(x;y;z)=(-688+91t;-185+75t;8)$, xuất hiện lần đầu khi cách $O$ đúng 417 km. Ta có $|\overrightarrow{OM}+t\vec{u}{|}^2=417^2$ với $\overrightarrow{OM}\cdot \vec{u}=-688\cdot 91-185\cdot 75=-76483$, $|\vec{u}{|}^2=13906$, $|\overrightarrow{OM}{|}^2=507633$. Phương trình: $13906t^2-152966t+333744=0$, tức $6953t^2-76483t+166872=0$. Biệt thức $\Delta =76483^2-4\cdot 6953\cdot 166872=34765^2$, nên $t=\frac{76483-34765}{6953}=6$ (nghiệm nhỏ). Vậy $N=(-688+546;-185+450;8)=(-142;265;8)$. Do đó $T=a-bc=-142-265\cdot 8=-2262$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;0;0)$ thuộc $Ox$. Vì $I$ cách đều $A$ và $B$: $I{A}^2=I{B}^2\iff (a-1{)}^2+1+4=(a-3{)}^2+4+9\iff a^2-2a+6=a^2-6a+22\iff 4a=16\iff a=4$. Vậy $I(4;0;0)$, bán kính $R^2=I{A}^2=(4-1{)}^2+1+4=14$. Phương trình mặt cầu: $(x-4{)}^2+y^2+z^2=14\iff x^2+y^2+z^2-8x+2=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=2$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=R^2=4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt cầu $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=9$ có tâm $I(2;-1;1)$, $R=3$. b) $\overrightarrow{IM}=(-1;4;4)$ nên $I{M}^2=1+16+16=33>9$, điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu → sai. c) Đường thẳng qua $O$ và $I(2;-1;1)$ có VTCP $(2;-1;1)$, nên phải là $x=2t,y=-t,z=t$; đề cho $z=-t$ → sai. d) $d(I,(P))=\frac{|2+2(-1)-2(1)+8|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{6}{3}=2$, nên $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\ne 2$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(2;-1;1)$, bán kính $R=\sqrt{9}=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I{M}^2=(-1{)}^2+4^2+4^2=33>9=R^2$ nên $M$ nằm ngoài mặt cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP đúng là $(2;-1;1)$, phương trình đúng $x=2t,y=-t,z=t$; đề cho $z=-t$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=2$, $r=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\ne 2$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm $M(1;2;-1)$ đến điểm $N(2;2;1)$ trên mặt cầu: $R=MN=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-2{)}^2+(1-(-1){)}^2}=\sqrt{1+0+4}=\sqrt{5}$. Vậy chọn đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã 102, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MN}=(3-1;3-1;6-2)=(2;2;4)\ne (2;2;-4)$ → Sai.
b) Đường thẳng $MN$: $(x;y;z)=(1+2t;1+2t;2+4t)$. Thay vào $(P)$: $(1+2t)+(1+2t)+3(2+4t)-6=2+16t=0\Rightarrow t=-\frac{1}{8}$, giao điểm là $E\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)\ne (-1;-1;-2)$ (thật vậy $-1-1+3(-2)-6=-14\ne 0$) → Sai.
c) Vì mặt cầu luôn đi qua $M,N$ nên $IM=IN$, tức $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$. Trung điểm $MN$ là $(2;2;4)$, vecto pháp tuyến $\overrightarrow{MN}=(2;2;4)$, phương trình: $2(x-2)+2(y-2)+4(z-4)=0\iff x+y+2z-12=0$. Vậy $I$ luôn thuộc $(\alpha )$ → Đúng.
d) Tâm $I$ còn thỏa $d(I,(P))=IM$. Với $I\in (\alpha )$, chọn cơ sở trực chuẩn trong $(\alpha )$: $e_1=\frac{(1;-1;0)}{\sqrt{2}}$, $e_2=\frac{(1;1;-1)}{\sqrt{3}}$, gốc $p_0=(4;4;2)$, tức $I=p_0+s{e}_1+t{e}_2$. Khi đó $I{M}^2=s^2+t^2+18+4\sqrt{3}t$ và $d(I,(P){)}^2=\frac{(z+6{)}^2}{11}=\frac{{\left(8-\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}^2}{11}$. Phương trình $11I{M}^2=(z+6{)}^2$ cho $11s^2+\frac{32}{3}{t}^2+\frac{148}{\sqrt{3}}t+134=0$, tức $11s^2+\frac{32}{3}{\left(t+\frac{111}{16\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{297}{8}$: một elip với $a^2=\frac{27}{8},b^2=\frac{891}{256}$, diện tích $\pi ab=\frac{27\sqrt{66}\pi }{64}\ne \frac{27\pi }{8}$ → Sai. Kết quả khớp đáp án mã 102: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(3-1;3-1;6-2)=(2;2;4)$, không phải $(2;2;-4)$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa: $(x;y;z)=(1+2t;1+2t;2+4t)$. Thay vào $(P)$: $2+16t=0\Rightarrow t=-\frac{1}{8}$, giao điểm là $E\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)\ne (-1;-1;-2)$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$IM=IN$ nên $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$: qua $(2;2;4)$, pháp tuyến $(2;2;4)$, tức $2(x-2)+2(y-2)+4(z-4)=0\iff x+y+2z-12=0$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Quỹ tích của $I$ là elip $11s^2+\frac{32}{3}{\left(t+\frac{111}{16\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{297}{8}$ trong mặt phẳng $(\alpha )$, có $a^2=\frac{27}{8}$, $b^2=\frac{891}{256}$, diện tích $\frac{27\sqrt{66}\pi }{64}\ne \frac{27\pi }{8}$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường máy bay bay trong vùng phủ sóng: $s=900\cdot \frac{24}{3600}=6$ km, đây là độ dài dây cung trên đường thẳng $d:\frac{x+4}{2}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-3}{1}$. Khoảng cách từ $I(2;1;5)$ đến $d$: $\overrightarrow{AI}=(6;6;2)$, $\overrightarrow{AI}\times \vec{u}=(2;-2;0)$, nên $d(I,d)=\frac{\sqrt{8}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Gọi $H$ là trung điểm dây cung thì $IH=d(I,d)$, suy ra $R^2=I{H}^2+{\left(\frac{s}{2}\right)}^2=\frac{8}{9}+9=\frac{89}{9}$. Vậy $R=\frac{\sqrt{89}}{3}\approx 3,14$ km, khớp với đáp án nguồn 3,14.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;-2;-1)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$ có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $(Oxy)$: $R=|z_I|=|-1|=1$. Vậy phương trình là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm $M(1;2;-1)$ đến điểm $N(2;1;0)$: $R=MN=\sqrt{(2-1{)}^2+(1-2{)}^2+(0+1{)}^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$. Vậy chọn A, khớp với đáp án nguồn.