Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MN}=N-M=(1-(-1);1-(-1);2-2)=(2;2;0)$ → Đúng.

b) Đường thẳng $MN$: $(x;y;z)=(-1;-1;2)+t(2;2;0)$. Thay vào $(P):x+y-2z=0$: $(-1+2t)+(-1+2t)-4=0\iff 4t-6=0\iff t=\frac{3}{2}$, suy ra $E(2;2;2)$ → Đúng.

c) Vì mặt cầu đi qua $M,N$ nên $IM=IN$, tức $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$. Mặt phẳng này đi qua trung điểm $(0;0;2)$, có pháp tuyến $\overrightarrow{MN}=(2;2;0)$, phương trình $2x+2y=0\iff x+y=0$. Vậy $I$ luôn thuộc $(\alpha ):x+y=0$ → Đúng.

d) Với $I=(x;-x;z)$: $R=IM=\sqrt{(x+1{)}^2+(-x+1{)}^2+(z-2{)}^2}=\sqrt{2(x+1{)}^2+(z-2{)}^2}$ và $R=d(I,(P))=\frac{|x-x-2z|}{\sqrt{6}}=\frac{2|z|}{\sqrt{6}}$. Bình phương: $2(x+1{)}^2+(z-2{)}^2=\frac{2z^2}{3}\iff 6(x+1{)}^2+3(z-2{)}^2=2z^2\iff 6(x+1{)}^2+(z-6{)}^2=24$. Đây là một elip trong mặt phẳng $(\alpha )$, với các nửa trục $a=\sqrt{24/6}=2$, $b=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ (tính theo tọa độ $x,z$), diện tích $\pi ab=4\pi \sqrt{6}\ne 3\pi \sqrt{6}$ (kể cả tính theo thước đo thực trong mặt phẳng $(\alpha )$, diện tích là $4\pi \sqrt{12}=8\pi \sqrt{3}$, vẫn khác $3\pi \sqrt{6}$) → Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp đáp án mã 101 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{MN}=(1-(-1);1-(-1);2-2)=(2;2;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) MN: $(-1;-1;2)+t(2;2;0)$; thay vào $(P)$: $4t-6=0\Rightarrow t=\frac{3}{2}\Rightarrow E(2;2;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $IM=IN$ nên $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$ đi qua $(0;0;2)$ với pháp tuyến $(2;2;0)$: $x+y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $I=(x;-x;z)$: $2(x+1{)}^2+(z-2{)}^2=\frac{2z^2}{3}\iff 6(x+1{)}^2+(z-6{)}^2=24$, elip với nửa trục $2$ và $2\sqrt{6}$, diện tích $4\pi \sqrt{6}\ne 3\pi \sqrt{6}$ (theo thước đo thực trong $(\alpha )$ là $8\pi \sqrt{3}$, cũng khác). Vậy d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay: $A(-5;-3;1)$, $\vec{u}(1;1;0)$. Khoảng cách từ $I(1;2;3)$ đến đường thẳng: $\overrightarrow{IA}=(-6;-5;-2)$, $\overrightarrow{IA}\times \vec{u}=(2;-2;-1)$, độ dài $=3$, nên $d=\frac{3}{\sqrt{2}}\approx 2,1213$ km. Vận tốc $720$ km/h $=0,2$ km/s, thời gian trong vùng phủ sóng $20$ s nên độ dài dây cung $L=0,2\cdot 20=4$ km, nửa dây $=2$ km. Bán kính $R=\sqrt{d^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+4}=\sqrt{8,5}\approx 2,92$ km, khớp đáp án 2,92.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=3^2=9$. So với các phương án: A sai dấu $(z-1{)}^2$; B, C sai vì vế phải bằng $3$ thay vì $R^2=9$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 6 mã 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2y-1=0\iff (x-1{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=3$, tâm $I(1;-1;0)$, bán kính $R=\sqrt{3}$.
a) Thay $A(1;-1;-1)$: $(1-1{)}^2+(-1+1{)}^2+(-1{)}^2=1\ne 3$ nên $A$ không nằm trên mặt cầu → Sai.
b) Tâm $I(1;-1;0)$, $R=\sqrt{3}$ → Đúng.
c) $d(I,(P))=\frac{|1-1+0-5|}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\approx 2,887>\sqrt{3}\approx 1,732$, nên $(P)$ và $(S)$ không có điểm chung → Đúng.
d) Gọi $M$ là trung điểm $AO$: $M\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$. Ta có $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EO}=2\overrightarrow{EM}$, nên $\left|\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EO}\right|=2EM\le 2(IM+R)$. Tính $IM=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Giá trị lớn nhất $=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\right)=3\sqrt{3}\ne \frac{3\sqrt{3}}{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1;-1) vào phương trình mặt cầu: 0+0+1=1≠3=R², nên A không nằm trên mặt cầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
(x-1)²+(y+1)²+z²=3 cho tâm I(1;-1;0) và R=√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(I,(P))=5/√3≈2,887 > R=√3≈1,732 nên (P) không cắt (S), không có điểm chung.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với M trung điểm AO, |EA+EO|=2EM≤2(IM+R)=2(√3/2+√3)=3√3, không bằng 3√3/2.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(0-2{)}^2+(2-4{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Mặt cầu tâm $I(2;4;-1)$: $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z+1{)}^2=24$. Đáp án C.

Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=3$ có tâm $I(1;-2;0)$ và bán kính $R=\sqrt{3}$.
Chọn đáp án B

a) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ suy ra tâm $I(10;20;30)$.

b) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ nên $R^2=5000^2\Rightarrow R=5000$.

c) Xét $M(5;20;0)$ ta có $IM=\sqrt{(5-10{)}^2+(20-20{)}^2+(0-30{)}^2}=5\sqrt{37}\approx 30,4<R$ nên người đó sử dụng được điện thoại của dịch vụ này.

d) Hình chiếu của $I(10;20;30)$ xuống mặt phẳng $(Oxy)$ là $H(10;20;0)$. Ta có $IH=30$ và $R=5000$ nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{5000^2-30^2}=4999,9$ mét.
Ta có $HA=\sqrt{(5000-10{)}^2+(3000-20{)}^2+(0-0{)}^2}\approx 5812,099$ mét.
Khoảng cách từ người đó đến vùng có sóng là là $d=HA-r=5812,099-4999,9\approx 812,19$ mét.
Vì làm tròn đến đơn vị và phải có sóng nên người đó cần di chuyển ít nhất là 813 mét.

Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d đúng].
a) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ suy ra tâm $I(10;20;30)$.
b) Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-10{)}^2+(y-20{)}^2+(z-30{)}^2=5000^2$ nên $R^2=5000^2\Rightarrow R=5000$.
c) Xét $M(5;20;0)$ ta có $IM=\sqrt{(5-10{)}^2+(20-20{)}^2+(0-30{)}^2}=5\sqrt{37}\approx 30,4<R$ nên người đó sử dụng được điện thoại của dịch vụ này.
d) Hình chiếu của $I(10;20;30)$ xuống mặt phẳng $(Oxy)$ là $H(10;20;0)$. Ta có $IH=30$ và $R=5000$ nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{5000^2-30^2}=4999,9$ mét.
Ta có $HA=\sqrt{(5000-10{)}^2+(3000-20{)}^2+(0-0{)}^2}\approx 5812,099$ mét.
Khoảng cách từ người đó đến vùng có sóng là là $d=HA-r=5812,099-4999,9\approx 812,19$ mét.
Vì làm tròn đến đơn vị và phải có sóng nên người đó cần di chuyển ít nhất là 813 mét.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{(0+1{)}^2+(3-2{)}^2+(2+3{)}^2}=\sqrt{1+1+25}=\sqrt{27}$, nên $R^2=27$. Phương trình mặt cầu tâm $I(-1;2;-3)$: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=27$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $r$ là bán kính quả bóng. Vì bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà (ba mặt phẳng đôi một vuông góc), tâm bóng có tọa độ $(r,r,r)$ (gốc phòng là giao của ba mặt phẳng). Điểm $M$ trên bóng có khoảng cách đến hai tường lần lượt 17 cm, 18 cm và đến nền 21 cm nên $M(17,18,21)$. Vì $M$ thuộc mặt cầu: $(r-17{)}^2+(r-18{)}^2+(r-21{)}^2=r^2$. Khai triển: $3r^2-2(17+18+21)r+(17^2+18^2+21^2)=r^2$, tức $2r^2-112r+1054=0$ hay $r^2-56r+527=0$. Delta $=56^2-4\cdot 527=3136-2108=1028$, $\sqrt{1028}\approx 32,062$. Suy ra $r=\frac{56-32,062}{2}\approx 11,969$ (nhận, vì $r=44,03$ cho đường kính $\approx 88$ cm không phải bóng rổ). Đường kính $2r\approx 23,94\approx 23,9$ cm, thỏa mãn bóng rổ tiêu chuẩn (23–24,5 cm).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Tâm mặt cầu là đài kiểm soát O(0;0;0), bán kính 417, nên phương trình là x^2+y^2+z^2=417^2, không phải tâm A.
b) Đúng. Đường thẳng d đi qua A(-688;-185;8) với vectơ chỉ phương u=(91;75;0): x=-688+91t, y=-185+75t, z=8.
c) Đúng. Gọi H=A+tu là hình chiếu của O trên d: t=-A·u/|u|^2. A·u=(-688)(91)+(-185)(75)=-76483; |u|^2=91^2+75^2=13906; t=76483/13906=5,5. H=(-688+500,5; -185+412,5; 8)=(-375/2; 455/2; 8).
d) Sai. Máy bay xuất hiện trên rada khi |A+tu|=417 với t≥0: 13906t^2-152966t+333744=0, có nghiệm t=(76483±34765)/13906, tức t=3 hoặc t=8. Vì máy bay hướng về đài, vị trí sớm nhất ứng với t=3: (-688+273; -185+225; 8)=(-415;40;8), không phải (40;415;8).
a) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm O(0;0;0) bán kính 417: x^2+y^2+z^2=417^2. Phương trình trong đề có tâm A(-688;-185;8) nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(-688;-185;8) với VTCP (91;75;0): x=-688+91t, y=-185+75t, z=8, t∈R. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của O trên d: t=-A·u/|u|^2=76483/13906=5,5, cho điểm (-375/2; 455/2; 8). Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải |A+tu|=417 với t≥0 được t=3 (nghiệm nhỏ) và t=8. Vị trí sớm nhất là (-688+273; -185+225; 8)=(-415;40;8), khác (40;415;8) nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ với gốc tại góc phòng: hai bức tường là các mặt phẳng $x=0$, $y=0$ và nền nhà là $z=0$. Quả bóng bán kính $r$ tiếp xúc cả ba mặt nên tâm bóng là $I(r;r;r)$. Điểm $M$ trên bóng có khoảng cách tới hai tường và nền lần lượt là 17, 18, 21 cm nên $M(17;18;21)$. Vì $M$ thuộc mặt cầu: $(17-r{)}^2+(18-r{)}^2+(21-r{)}^2=r^2$. Khai triển: $3r^2-112r+1054=r^2\Rightarrow 2r^2-112r+1054=0\Rightarrow r^2-56r+527=0$. Giải: $r=28\pm \sqrt{257}$, tức $r\approx 44,03$ hoặc $r\approx 11,97$. Chỉ nhận $r\approx 11,97$ (vì đường kính phải trong khoảng 23–24,5 cm). Vậy đường kính $2r=56-2\sqrt{257}\approx 23,9$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{(0+1{)}^2+(3-2{)}^2+(2+3{)}^2}=\sqrt{1+1+25}=\sqrt{27}$, nên $R^2=27$. Phương trình mặt cầu tâm $I(-1;2;-3)$: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=27$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1022.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;-2;-3)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2+6z+9=9\iff x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+5=0$. Vậy đáp án A (khớp với đáp án đã phát hiện trong nguồn).

Hình lập phương có tâm $I(3;3;3)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(3;3;3)$ và có bán kính bằng 2
Phương trình mặt cầu là $$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=4$$

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Theo bảng đáp án HD chấm (trang 19), mã đề 104, Câu 4: D.

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Theo bảng đáp án HD chấm (trang 19), Phần I Câu 10 của đề 101 là A. Lưu ý: bản in đề tại trang 14 nhầm nhãn phương án đầu tiên thành 'C.' (lỗi trình bày của đề); theo nội dung và bảng đáp án, phương án này ứng với lựa chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$ có dạng $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2-4y+4+z^2-6z+9=9$, tức $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0$. Kết quả khớp với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (đề 103, câu 11: A).

Hình lập phương có tâm $I(4;4;4)$
Suy ra mặt cầu có tâm $I(4;4;4)$ và có bán kính bằng 3
Phương trình mặt cầu là $$(x-4{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=9$$

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(a,b,c)$ bán kính $R$ là tập các điểm $M(x,y,z)$ với $IM=R$, tức $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Vế phải là bình phương bán kính $R^2$ và các dấu trong ngoặc là trừ tọa độ tâm, nên đáp án B khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;-2;-3)$, bán kính $R=3$ có dạng $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=9$. Khai triển: $x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2+6z+9=9$, tức $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+5=0$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (đề 102, câu 12: A).