Trong một trò chơi điện tử, người chơi điều khiển một "Quả cầu năng lượng" bảo vệ có dạng mặt cầu $(S)$ có bán kính thay đổi. Lỗi hệ thống yêu cầu quả cầu này phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: mặt ngoài của quả cầu luôn tiếp xúc với một bức tường năng lượng phẳng $(P):x+y+3z-6=0$, đồng thời mặt cầu luôn đi qua hai điểm cảm biến cố định $M(1;1;2),N(3;3;6)$. Gọi $I$ là tâm mặt cầu và $D$ là tiếp điểm của mặt cầu $(S)$ với mặt phẳng $(P)$.



a) $\overrightarrow{MN}=(2;2;-4)$.
b) Đường thẳng $MN$ cắt bức tường năng lượng $(P)$ tại điểm $E(-1;-1;-2)$.
c) Trong suốt quá trình di chuyển, tâm $I$ của quả cầu năng lượng luôn thuộc mặt phẳng $(\alpha ):x+y+2z-12=0$.
d) Tâm $I$ của quả cầu năng lượng di chuyển trên một đường cong có diện tích bằng $\frac{27\pi }{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MN}=(3-1;3-1;6-2)=(2;2;4)\ne (2;2;-4)$ → Sai.
b) Đường thẳng $MN$: $(x;y;z)=(1+2t;1+2t;2+4t)$. Thay vào $(P)$: $(1+2t)+(1+2t)+3(2+4t)-6=2+16t=0\Rightarrow t=-\frac{1}{8}$, giao điểm là $E\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)\ne (-1;-1;-2)$ (thật vậy $-1-1+3(-2)-6=-14\ne 0$) → Sai.
c) Vì mặt cầu luôn đi qua $M,N$ nên $IM=IN$, tức $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$. Trung điểm $MN$ là $(2;2;4)$, vecto pháp tuyến $\overrightarrow{MN}=(2;2;4)$, phương trình: $2(x-2)+2(y-2)+4(z-4)=0\iff x+y+2z-12=0$. Vậy $I$ luôn thuộc $(\alpha )$ → Đúng.
d) Tâm $I$ còn thỏa $d(I,(P))=IM$. Với $I\in (\alpha )$, chọn cơ sở trực chuẩn trong $(\alpha )$: $e_1=\frac{(1;-1;0)}{\sqrt{2}}$, $e_2=\frac{(1;1;-1)}{\sqrt{3}}$, gốc $p_0=(4;4;2)$, tức $I=p_0+s{e}_1+t{e}_2$. Khi đó $I{M}^2=s^2+t^2+18+4\sqrt{3}t$ và $d(I,(P){)}^2=\frac{(z+6{)}^2}{11}=\frac{{\left(8-\frac{t}{\sqrt{3}}\right)}^2}{11}$. Phương trình $11I{M}^2=(z+6{)}^2$ cho $11s^2+\frac{32}{3}{t}^2+\frac{148}{\sqrt{3}}t+134=0$, tức $11s^2+\frac{32}{3}{\left(t+\frac{111}{16\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{297}{8}$: một elip với $a^2=\frac{27}{8},b^2=\frac{891}{256}$, diện tích $\pi ab=\frac{27\sqrt{66}\pi }{64}\ne \frac{27\pi }{8}$ → Sai. Kết quả khớp đáp án mã 102: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(3-1;3-1;6-2)=(2;2;4)$, không phải $(2;2;-4)$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa: $(x;y;z)=(1+2t;1+2t;2+4t)$. Thay vào $(P)$: $2+16t=0\Rightarrow t=-\frac{1}{8}$, giao điểm là $E\left(\frac{3}{4};\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)\ne (-1;-1;-2)$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$IM=IN$ nên $I$ thuộc mặt phẳng trung trực của $MN$: qua $(2;2;4)$, pháp tuyến $(2;2;4)$, tức $2(x-2)+2(y-2)+4(z-4)=0\iff x+y+2z-12=0$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Quỹ tích của $I$ là elip $11s^2+\frac{32}{3}{\left(t+\frac{111}{16\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{297}{8}$ trong mặt phẳng $(\alpha )$, có $a^2=\frac{27}{8}$, $b^2=\frac{891}{256}$, diện tích $\frac{27\sqrt{66}\pi }{64}\ne \frac{27\pi }{8}$ → Sai.