Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;3;2)$ và có một tiếp tuyến là đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Tính $T=a+b+c-d$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ đi qua A(1;1;0) với vectơ chỉ phương u=(1;1;−1). Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I(1;3;2) đến Δ: IA=(0;−2;−2), IA×u=(4;−2;2), |IA×u|=√24=2√6, |u|=√3 nên R=d(I,Δ)=2√6/√3=2√2, R²=8. Phương trình mặt cầu: (x−1)²+(y−3)²+(z−2)²=8 ⟺ x²+y²+z²−2x−6y−4z+6=0. Vậy a=1, b=3, c=2, d=6, do đó T=a+b+c−d=1+3+2−6=0.