Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kỳ trong không gian. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A(-1;-3;-5)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B(-1;1;-1)$ và $C(1;-1;-1)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu: $$(S):x^2+y^2+z^2=3.$$ Người ta xác định được tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $MA+MB+MC$ là nhỏ nhất. Tính giá trị $2a-6b-8c$ và làm tròn đến hàng phần chục?

Mặt cầu (S) có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R=\sqrt{3}$. Ta có: $$\overrightarrow{AB}=(0;4;4),\overrightarrow{AC}=(2;2;4)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(8;8;-8)=8(1;1;-1).$$ Mặt phẳng (ABC) qua $A(-1;-3;-5)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$ nên có phương trình $$x+y-z-1=0.$$ Ta có $d(O,(ABC))=\frac{1}{\sqrt{3}}<R$ nên (ABC) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính $$r=\sqrt{R^2-(d(O,(ABC)){)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ Chọn điểm D thuộc (C) sao cho $\Delta BCD$ đều, suy ra $D(1;1;1)$. Xét điểm M thuộc cung nhỏ BC, lấy E thuộc đoạn DM sao cho $MC=ME$. Mặt khác $\widehat{CME}=\widehat{CBD}=60^{\circ }$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CD). Vì vậy tam giác CME đều. Xét hai tam giác $\Delta CMB$ và $\Delta CED$ có $$CM=CE,CB=CD$$ $$\widehat{CBM}=\widehat{CDE}(\text{goˊc nội tieˆˊp cuˋng cha˘ˊn cung }CM)$$ Do đó hai tam giác $\Delta CMB,\Delta CED$ bằng nhau, suy ra $MB=ED$. Khi đó $$MA+MB+MC=MA+ME+ED\ge AD=\sqrt{(1+1{)}^2+(1+3{)}^2+(1+5{)}^2}=2\sqrt{14}$$ $$\approx 7,48.$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $M\in AD\cap (S)$ hay $M=AD\cap (C)$. Ta có $\overrightarrow{AD}=(2;4;6)$; đường thẳng AD có phương trình tham số $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1+3t\end{array}$$ Thay phương trình AD vào phương trình (S) thì: $$(1+t{)}^2+(1+2t{)}^2+(1+3t{)}^2=3\Rightarrow t(7t+6)=0$$ $$\Rightarrow t=0\text{ hoặc }t=-\frac{6}{7}.$$ Với $t=0$ ta có điểm $D(1;1;1)$. Với $t=-\frac{6}{7}$ ta có điểm $M\left(\frac{1}{7};-\frac{5}{7};-\frac{11}{7}\right)$; suy ra $$2a-6b-8c=\frac{2}{7}+\frac{5.6}{7}+\frac{11.8}{7}=\frac{120}{7}\approx 17,1.$$