Cho tập $H=\left\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 100\right\}$. Chọn ngẫu nhiên ba phần tử thuộc tập $H$. Tính xác suất để chọn được ba phần tử lập thành một cấp số cộng.

Chọn C. Có $H=\{1;2;...;100\}$, tập $H$ có 100 phần tử, trong đó có 50 phần tử là số chẵn và 50 phần tử là số lẻ. Gọi $H_1=\{1,3,5,...,99\}$, $H_2=\{2,4,6,...,100\}$. Lấy 3 phần tử từ tập $H$, có $\left|\Omega \right|=C_{100}^3=161700$. Gọi $a,b,c$ là 3 số tự lập thành cấp số cộng $\iff \frac{a+c}{2}=b$. Do $a,b,c\in H$ nên $a,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Trường hợp 1: $a,c$ cùng chẵn. Chọn 2 phần tử thuộc $H_2$ có: $C_{50}^2$ (cách). Có duy nhất một cách chọn $b=\frac{a+c}{2}$. Trường hợp 2: $a,c$ cùng lẻ. Chọn 2 phần tử thuộc $H_1$ có: $C_{50}^2$ (cách). Có duy nhất một cách chọn $b=\frac{a+c}{2}$. Qua 2 trường hợp có $\left|{\Omega }_A\right|=1.C_{50}^2+1.C_{50}^2=2C_{50}^2=2450$. Suy ra xác suất thỏa yêu cầu $p=\frac{\left|{\Omega }_A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{1}{66}$.