Cho hàm số $f(x)=mx+2+\frac{m^2-m-3}{x-1}$ (với $m$ là tham số). Khi hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ thì giá trị $f(5)$ bằng:

Chọn D. Hàm số $f(x)$ xác định trên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $f^{\prime }(x)=m-\frac{m^2-m-3}{(x-1{)}^2}$. Như vậy $f(x)$ có đạo hàm tại $x=0$. Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0\Rightarrow f^{\prime }(0)=0\iff m=m^2-m-3$ $\iff m^2-2m-3=0\iff \left[\begin{array}{c}m=-1\\ m=3\end{array}\right]$. Thử lại: Với $m=-1$: $f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$. Lập bảng biến thiên: [Hình cần kiểm tra lại: p12_f2] do đó $x=0$ là điểm cực tiểu (không thỏa mãn). Với $m=3$: $f^{\prime }(x)=3-\frac{3}{x-1}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$. Lập bảng biến thiên: do đó $x=0$ là điểm cực đại (thỏa mãn). Khi đó $f\left(5\right)=\frac{71}{4}$.