Ông An có một thanh đá thạch anh màu xanh ngọc dạng hình lăng trụ đứng $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, trong đó $OA=OB=2dm$, $\widehat{AOB}=120^0$, $O{O}^{\prime }=4dm$. Ông mang thanh thạch anh này đến tiệm chuyên gia công và sản xuất đồ lưu niệm yêu cầu chủ tiệm phân chia thanh đá thành ba phần bởi hai mặt phẳng $(CAB)$ và $(DAB)$ sao cho tam giác $CAB$ vuông, tam giác $DAB$ đều. Sau đó, làm một quả cầu pha lê ngoại tiếp khối thạch anh $ABCD$ (4 điểm $A,B,C,D$ thuộc mặt cầu, xem hình minh họa). Chủ tiệm định giá tiền hoàn thành món hàng bằng bình phương thể tích khối thạch anh $ABCD(d{m}^3)$ cộng với bình phương bán kính mặt cầu $(dm)$ ngoại tiếp khối đó rồi nhân với 60 nghìn đồng $((V_{ABCD}^2+R^2).60000)$. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu nghìn đồng cho món đồ lưu niệm của mình?

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: chọn đáy dưới là mặt phẳng z=0 với A(0;0;0), B(2√3;0;0) (vì AB² = 2²+2²−2·2·2·cos120° = 12 ⇒ AB = 2√3), O(√3;1;0), và O'(√3;1;4) (OO' = 4). Hai mặt phẳng (CAB), (DAB) cắt lăng trụ thành ba phần, với C, D thuộc cạnh OO'.

• Tam giác DAB đều ⇒ DA = DB = AB = 2√3. Với D trên OO': D(√3;1;z) ⇒ DA² = 3+1+z² = 12 ⇒ z² = 8 ⇒ z = 2√2. Vậy D(√3;1;2√2).
• Tam giác CAB vuông (vuông tại C) ⇒ CA² + CB² = AB² = 12. Với C(√3;1;z): CA² = CB² = 4+z² ⇒ 2(4+z²)=12 ⇒ z² = 2 ⇒ z = √2. Vậy C(√3;1;√2) (C nằm dưới D để hai mặt phẳng cắt lăng trụ thành ba phần).

Thể tích khối chóp ABCD:
V = (1/6)|det[AB, AC, AD]| = (1/6)·|2√3·(1·2√2 − √2·1)| = (2√6)/6 = √6/3 ⇒ V² = 2/3.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: tâm I(√3; y₀; z₀) (do IA = IB).
Từ IA = IC: 3 + y₀² + z₀² = (y₀−1)² + (z₀−√2)² ⇒ y₀ = −√2 z₀.
Từ IA = ID: 3 + y₀² + z₀² = (y₀−1)² + (z₀−2√2)² ⇒ y₀ = 3 − 2√2 z₀.
Suy ra √2 z₀ = 3 ⇒ z₀ = 3√2/2, y₀ = −3.
R² = IA² = 3 + 9 + 9/2 = 33/2.

Vậy V² + R² = 2/3 + 33/2 = 103/6.
Số tiền ông An phải trả: (V² + R²)·60 = (103/6)·60 = 1030 (nghìn đồng).
Kết quả trùng với đáp án nguồn 1030.