Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):z+2=0$, điểm $K(0;0;-2)$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$. Lập phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng $d$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo thiết diện là đường tròn tâm $K$, bán kính $r=\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm mặt cầu là $I(t;t;t)$ thuộc $d$. Thiết diện là đường tròn tâm $K(0;0;-2)$ nên $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P):z+2=0$, tức hình chiếu của $I$ là $(t;t;-2)$. Suy ra $t=0$, vậy $I(0;0;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là $d(I,(P))=|0+2|=2$. Bán kính mặt cầu: $R^2=d^2+r^2=4+5=9\Rightarrow R=3$. Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2=9$.