Tìm giá trị tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x-m^2-1}{x-m}$ có giá trị lớn nhất trên $[0;4]$ bằng $-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x-m^2-1}{x-m}=1+\frac{m-m^2}{x-m}$, với $y^{\prime }=\frac{m^2-m}{(x-m{)}^2}$.

- Nếu $m\in (0;4)$ thì hàm số gián đoạn tại $x=m$ nằm trong $[0;4]$, một nhánh tiến đến $+\infty$ nên hàm không có GTLN bằng $-6$ (loại). Riêng $m=0$: GTLN trên $(0;4]$ bằng $y(4)=\frac{3}{4}$; $m=4$: hàm không xác định tại $x=4$ (loại).
- Nếu $m<0$ hoặc $m>4$: $m^2-m>0$ nên hàm liên tục và đồng biến trên $[0;4]$, GTLN tại $x=4$: $\frac{3-m^2}{4-m}=-6\iff m^2+6m-27=0\iff m=3$ (loại vì $3\in (0;4)$) hoặc $m=-9$ (thỏa, $m<0$).
- Nếu $0<m<1$: hàm gián đoạn tại $x=m$ trong đoạn, loại (đã xét ở trên).

Thử lại $m=-9$: $y=\frac{x-82}{x+9}$, $y^{\prime }=\frac{91}{(x+9{)}^2}>0$ nên đồng biến trên $[0;4]$, GTLN $=y(4)=\frac{-78}{13}=-6$. Vậy $m=-9$.