Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+a}{x-1}=1+\frac{a+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đúng như hai đường thẳng trong hình. Trên hình, đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$ (nhánh trái nằm dưới tiệm cận ngang và đi xuống qua trục tung dưới gốc $O$). Do đó $y(0)=\frac{a}{0-1}=-a=-1\Rightarrow a=1$. Kiểm tra: với $a=1$, $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$, có $a+1=2>0$ nên hai nhánh đều nghịch biến, nhánh phải nằm trên $y=1$, nhánh trái nằm dưới $y=1$, và $y(2)=3$ — hoàn toàn khớp với đồ thị trong hình. Vậy $a=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}$. Từ bảng biến thiên ở trang 19: trên $(-\infty ;-1)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $4$, vì $-\infty <\frac{3}{2}<4$ nên có đúng 1 nghiệm; trên $(-1;1)$ hàm số nghịch biến từ $4$ xuống $-1$, vì $-1<\frac{3}{2}<4$ nên có đúng 1 nghiệm; trên $(1;+\infty )$ hàm số đồng biến từ $-1$ đến $+\infty$, vì $-1<\frac{3}{2}<+\infty$ nên có đúng 1 nghiệm. Vậy tổng cộng phương trình có $1+1+1=3$ nghiệm, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại bằng $2$ (tại $x=0$) và cực tiểu bằng $-2$ (tại $x=2$). Phương trình $3f(x)+4=0\iff f(x)=-\frac{4}{3}$. Vì $-2<-\frac{4}{3}<2$, đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ nằm giữa cực đại và cực tiểu nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm thực.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+3=x\iff x^3-3x^2-x+3=0\iff x^2(x-3)-(x-3)=0\iff (x-3)(x^2-1)=0\iff x=3$ hoặc $x=\pm 1$. Với $x=1$ thì $y=1$; với $x=-1$ thì $y=-1$; với $x=3$ thì $y=3$. Vậy đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+3$ cắt đường thẳng $y=x$ tại ba điểm $(-1;-1)$, $(1;1)$ và $(3;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị câu 7 (trang 2): hàm bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại điểm $(-1;-2)$ và cực đại tại điểm $(1;2)$. Xét phương trình $f(x)=2$, tức số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=2$:
- Nhánh trái (giảm từ $+\infty$ xuống cực tiểu $-2$): cắt đường thẳng $y=2$ tại đúng một điểm.
- Nhánh giữa (tăng từ $-2$ lên cực đại $2$): giá trị lớn nhất trên nhánh này bằng $2$, đạt tại $x=1$, nên chỉ tiếp xúc tại đúng điểm $(1;2)$ — một nghiệm (nghiệm kép).
- Nhánh phải (giảm từ $2$ xuống $-\infty$): luôn $\le 2$, không có giao điểm nào khác.
Vậy phương trình $f(x)=2$ có 2 nghiệm thực phân biệt. Chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f$ tăng từ $-\infty$ đến $3$ trên $(-\infty ;-1)$, giảm từ $3$ về $1$ trên $(-1;0)$, tăng từ $1$ đến $3$ trên $(0;1)$, giảm từ $3$ về $-\infty$ trên $(1;+\infty )$, và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Xét phương trình $f(x)=2$ (vì $1<2<3$): trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$, $(-1;0)$, $(0;1)$, $(1;+\infty )$, do tính đơn điệu và $2$ nằm giữa hai giá trị giới hạn tương ứng, mỗi khoảng có đúng $1$ nghiệm. Vậy tổng cộng có $4$ nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 51 dùng bảng biến thiên của hàm $f(x)$ ở Câu 50: $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ từ $-\infty$ đến $3$, nghịch biến trên $(-1;0)$ từ $3$ xuống $1$, đồng biến trên $(0;1)$ từ $1$ lên $3$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$ từ $3$ xuống $-\infty$. Xét $f(x)+2=0\iff f(x)=-2$: trên $(-\infty ;-1)$, $f$ đi từ $-\infty$ lên $3$ nên có đúng 1 nghiệm; trên $(-1;0)$ và $(0;1)$, $f(x)\ge 1>-2$ nên không có nghiệm; trên $(1;+\infty )$, $f$ đi từ $3$ xuống $-\infty$ nên có đúng 1 nghiệm. Vậy phương trình có 2 nghiệm, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ,-2)$ hàm số tăng từ $-\infty$ đến $0$ nên không đạt giá trị $3$; trên $(-2,0)$ hàm số giảm từ $0$ đến $-4$ nên không đạt $3$; trên $(0,+\infty )$ hàm số tăng liên tục từ $-4$ đến $+\infty$, do đó phương trình $f(x)=3$ có đúng $1$ nghiệm trên khoảng này. Vậy số nghiệm là $1$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $x^3-2x^2+x-1=m$, tức $f(x)=x^3-2x^2+x-1-m=0$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1=0\iff x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$. Tại $x=\frac{1}{3}$: $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}-1-m=-\frac{23}{27}-m$ (cực đại); tại $x=1$: $f(1)=1-2+1-1-m=-1-m$ (cực tiểu). Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai giá trị cực trị trái dấu, tức $\left(-\frac{23}{27}-m\right)\left(-1-m\right)<0\iff -1<m<-\frac{23}{27}$ (khi đó $-\frac{23}{27}-m>0$ và $-1-m<0$). Do đó số giao điểm nhiều nhất là 3, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(x)$ là hàm bậc ba có 3 nghiệm $x=-2,2,5$, cực đại dương (gần $x=0$) và cực tiểu âm đạt giá trị $-3$ (đoạn giữa $x=2$ và $x=5$). Viết $f(x)=k(x+2)(x-2)(x-5)$. Cực tiểu tại $x=\frac{5+\sqrt{37}}{3}\approx 3,69$ với giá trị $k\cdot (-12,6)=-3$, suy ra cực đại $\approx 4,9>0$. Do đó phương trình $f(t)=-3$ có đúng hai nghiệm phân biệt: $t_1\in (-3;-2)$ (nghiệm ngoài khoảng giữa hai cực trị) và $t_2\approx 3,69$ (nghiệm kép tại điểm cực tiểu). Xét $u=x^3-3x^2+m$ với $x\in [-1;2]$. Đặt $h(x)=x^3-3x^2$, $h^{\prime }(x)=3x(x-2)$: $h$ tăng trên $[-1;0]$ từ $-4$ đến $0$, giảm trên $[0;2]$ từ $0$ về $-4$. Vậy $u$ chạy trong đoạn $[m-4;m]$, quét toàn bộ đoạn này. Điều kiện có nghiệm: $[m-4;m]$ chứa $t_1$ hoặc $t_2$.
- Chứa $t_2\approx 3,69$: cần $m-4\le 3,69\le m\Rightarrow m\in \{4;5;6;7\}$ (4 giá trị).
- Chứa $t_1\in (-3;-2)$: cần $m\le t_1+4\in (1;2)$ và $m\ge t_1>-3\Rightarrow m\in \{-2;-1;0;1\}$ (4 giá trị).
Hai họ không giao nhau (vì $m\le 1$ và $m\ge 4$), tổng cộng $4+4=8$ giá trị nguyên của $m$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M(a;b)\in (C)$ nên $b=\frac{3a-2}{a+1}$, $a\ne -1$, và $M\ne A,B$ (chú ý $A(4;2),B(-2;8)$ cũng thuộc $(C)$).

Gọi $H(x;y)$ là trực tâm tam giác $MAB$.
- Đường cao qua $M$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}=(-6;6)$: $-6(x-a)+6(y-b)=0\Rightarrow y=x+b-a$.
- Vì $H\in d:5x-4y-3=0$, thay $y=x+b-a$: $5x-4x-4b+4a-3=0\Rightarrow x=4b-4a+3$, suy ra $y=5b-5a+3$.
- Đường cao qua $A$ vuông góc với $\overrightarrow{MB}=(-2-a;8-b)$: $(x-4)(-2-a)+(y-2)(8-b)=0$.

Thay tọa độ $H$ vào, với $b=\frac{3a-2}{a+1}$:
$4b-4a-1=\frac{-4a^2+7a-9}{a+1}$, $5b-5a+1=\frac{-5a^2+11a-9}{a+1}$, $8-b=\frac{5(a+2)}{a+1}$.

Phương trình trở thành (nhân với $\frac{(a+1{)}^2}{a+2}$):
$$(a+1)(4a^2-7a+9)+5(-5a^2+11a-9)=0\iff 4a^3-28a^2+57a-36=0\iff (a-4)(2a-3{)}^2=0.$$

$a=4$ cho $M=A$ (loại vì tam giác suy biến). Với $a=\frac{3}{2}$: $b=\frac{3\cdot \frac{3}{2}-2}{\frac{3}{2}+1}=1$, tức $M\left(\frac{3}{2};1\right)$.

Kiểm tra: $H=(4b-4a+3;5b-5a+3)=(1;\frac{1}{2})$, thỏa $5(1)-4(\frac{1}{2})-3=0$ và $(\overrightarrow{AH})\cdot \overrightarrow{MB}=(-3)(-\frac{7}{2})+(-\frac{3}{2})(7)=\frac{21}{2}-\frac{21}{2}=0$. Đúng.

Vậy $S=4a^2+3b=4\cdot \frac{9}{4}+3\cdot 1=9+3=12$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục $Ox$: giải $x^3-3x^2+2x=0\iff x(x^2-3x+2)=0\iff x(x-1)(x-2)=0$, cho $x=0$, $x=1$, $x=2$ — ba nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị cắt trục $Ox$ tại 3 điểm, đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục $Ox$: giải $x^3-3x^2+2x=0\iff x(x^2-3x+2)=0\iff x(x-1)(x-2)=0$, được $x=0,x=1,x=2$ — ba nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị cắt trục $Ox$ tại 3 điểm, khớp đáp án C trong bảng đáp án (Mã đề 1201, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=2f(x)+x^2-4x$. Từ đồ thị, $f$ đạt giá trị nhỏ nhất $f(2)=-3$ tại $x=2$, nên $f^{\prime }(2)=0$. Khi đó $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+2x-4$ nên $g^{\prime }(2)=0+4-4=0$, tức $x=2$ là điểm tới hạn của $g$ trong khoảng $(-1;3)$. Vì $f^{\prime }(x)<0$ với $x<2$ và $f^{\prime }(x)>0$ với $x>2$ (trong khoảng xét), ta có $g^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)+2x-4<0$ khi $x<2$ và $g^{\prime }(x)>0$ khi $x>2$, vậy $g$ đạt minimum tại $x=2$: $g(2)=2f(2)+4-8=2(-3)-4=-10$. Kiểm tra hai đầu (không thuộc khoảng nhưng để so sánh): $g(-1)=2f(-1)+5\ge 5>-10$ (vì $f(-1)\ge 0$ theo đồ thị) và $g(3)=2f(3)-3>-10$ (vì $f(3)>-3,5$ theo đồ thị). Vậy ${\min }_{(-1;3)}g(x)=-10$ (đạt tại $x=2$). Bất phương trình $g(x)>m$ đúng với mọi $x\in (-1;3)$ khi và chỉ khi $m<-10$, tức $m\le -11$ với $m$ nguyên. Số giá trị nguyên $m\in [-2024;2025]$ thỏa mãn là $-11-(-2024)+1=2014$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2=-2x^2+5x\iff x^3-7x=0\iff x(x^2-7)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{7}$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm. Đáp án C, khớp với đáp án ma trận (đề 0102, câu 2 = C).

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình:
$$x^3-2x^2=-2x^2+5x\iff x^3-5x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-\sqrt{5}\\ x=\sqrt{5}\end{array}$$
Vậy số giao điểm là 3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng $x=0$ (ký hiệu $\Vert$), với các nhánh: trên $(-\infty ;0)$ giảm từ $+\infty$ về $-1$ (không đạt giá trị $-1$, nhận khoảng giá trị $(-1;+\infty )$); trên $(0;1)$ tăng từ $-\infty$ đến $2$; trên $(1;+\infty )$ giảm từ $2$ về $-\infty$. Xét số nghiệm của $f(x)=m$ theo $m$:
- $m>2$: chỉ nhánh 1 cắt, được 1 nghiệm.
- $m=2$: nhánh 1 cho 1 nghiệm và $x=1$ cho 1 nghiệm → đúng 2 nghiệm.
- $-1<m<2$: cả 3 nhánh đều cắt → 3 nghiệm.
- $m=-1$: nhánh 2 và nhánh 3 mỗi nhánh cho 1 nghiệm (nhánh 1 không đạt $-1$) → đúng 2 nghiệm.
- $m<-1$: nhánh 2 và nhánh 3 mỗi nhánh cho 1 nghiệm → đúng 2 nghiệm.
Vậy $f(x)=m$ có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi $m\le -1$ hoặc $m=2$. Điều này khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;0)$ hàm số giảm từ $+\infty$ đến $-1$ (không đạt giá trị $-1$ vì $x=0$ là tiệm cận đứng); trên $(0;1)$ hàm tăng từ $-\infty$ đến $2$; trên $(1;+\infty )$ hàm giảm từ $2$ đến $-\infty$. Xét số nghiệm của $f(x)=m$ theo mỗi nhánh: với $m>2$ chỉ có 1 nghiệm (nhánh thứ nhất); với $m=2$ có 2 nghiệm (hai nhánh $(0;1)$ và $(1;+\infty )$ đạt cực đại $2$); với $-1<m<2$ có 3 nghiệm; với $m=-1$ nhánh thứ nhất không cho nghiệm (do $-1$ không đạt được), hai nhánh còn lại cho 2 nghiệm; với $m<-1$ có đúng 2 nghiệm (hai nhánh $(0;1)$ và $(1;+\infty )$). Vậy phương trình có đúng hai nghiệm khi $m\le -1$ hoặc $m=2$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có điểm cực tiểu $(-1;-2)$ và điểm cực đại $(1;2)$. Phương trình $f(x)=-2$ tương ứng với giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=-2$. Vì $y=-2$ trùng với giá trị cực tiểu, đường thẳng này tiếp xúc đồ thị tại điểm cực tiểu $x=-1$ (một nghiệm kép) và cắt nhánh giảm bên phải đồ thị tại đúng một điểm khác (do nhánh bên phải đi xuống tới $-\infty$). Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: A).