Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba, hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-1$ và điểm cực đại tại $x=1$. Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống nên $f^{\prime }(x)<0$, tức hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ hàm đồng biến. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{2x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{5}{(2x+3{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-\frac{3}{2}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3-x$ có $y^{\prime }=3x^2-1$ đổi dấu nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=\sin x+2x$ có $y^{\prime }=\cos x+2\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=\sqrt{x}$ chỉ xác định trên $[0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $1$), đạt cực tiểu tại $x=0$. Do đó hàm nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ xuất hiện, tương ứng đáp án A. Kiểm tra: trên $(-\infty ;-1)$ hàm đồng biến (B sai); trên $(0;1)$ hàm đồng biến (C sai); trên $(0;+\infty )$ hàm vừa đồng biến vừa nghịch biến (D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-x-12=(x-4)(x+3)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>4$; $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<4$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(4;+\infty )$, nghịch biến trên $(-3;4)$. Do đó mệnh đề đúng là B: hàm số đồng biến trên khoảng $(4;+\infty )$. Các phương án khác sai vì: A sai (trên $(-3;4)$ hàm nghịch biến), C sai (trên $(-\infty ;4)$ hàm không nghịch biến trên toàn khoảng), D sai (trên $(-3;+\infty )$ hàm không nghịch biến trên toàn khoảng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $C(x)=\frac{300x}{100-x}$, $0\le x<100$. a) Đúng: đề cho miền xác định $D=[0;100)$. b) Đúng: $C^{\prime }(x)=\frac{300(100-x)+300x}{(100-x{)}^2}=\frac{30000}{(100-x{)}^2}>0$ với mọi $x<100$, nên hàm luôn tăng. c) Sai: vì hàm đồng biến và ${\lim }_{x\to 100^{-}}C(x)=+\infty$, nên chi phí vượt quá 300 triệu khi $x$ đủ lớn (ví dụ $C(50)=300$ triệu, với $x>50$ thì $C(x)>300$). d) Sai: $x=100$ không thuộc tập xác định, không thể loại bỏ 100% chất ô nhiễm (chi phí tiến tới vô cùng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo đề bài, hàm chi phí xác định với $0\le x<100$, tức $D=[0;100)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(x)=\frac{30000}{(100-x{)}^2}>0$ với mọi $x\in [0;100)$, nên $C(x)$ luôn tăng khi $x$ tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(50)=300$ triệu và hàm đồng biến, ${\lim }_{x\to 100^{-}}C(x)=+\infty$, nên khi $x>50$ chi phí vượt quá 300 triệu.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=100$ không thuộc tập xác định $[0;100)$; khi $x\to 100^{-}$ chi phí tiến tới vô cùng nên không thể loại bỏ 100% chất ô nhiễm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^3$. Với $x<0$: $x<0$ và $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến). Với $0<x<2$: $x>0$ và $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến). Với $x>2$: $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến). Vậy hàm số nghịch biến trên $(0;2)$, do đó nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ thuộc các đáp án. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=x^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $y^{\prime }=0$ chỉ tại $x=0$ (một điểm), nên $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng không chứa $0$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm không đổi dấu trên bất kỳ khoảng nào, do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(1-x{)}^2(x+1{)}^3(3-x)$. Vì $(1-x{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ phụ thuộc $(x+1{)}^3(3-x)$. Với $x<-1$: $(x+1{)}^3<0$, $(3-x)>0$ nên $f^{\prime }<0$ (nghịch biến). Với $-1<x<3$: $(x+1{)}^3>0$, $(3-x)>0$ nên $f^{\prime }>0$ (đồng biến). Với $x>3$: $f^{\prime }<0$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên $(-1;3)$, do đó trong các đáp án, khoảng đồng biến là $(1;3)$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
A, D là hàm phân thức có điểm gián đoạn nên không đồng biến trên toàn R. Với B: $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Với C: $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$ nên hàm nghịch biến trên R. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(t)=\frac{t+1}{t^2+t+4}$ với $t\ge 0$. Tính đạo hàm: $$P^{\prime }(t)=\frac{(t^2+t+4)-(t+1)(2t+1)}{(t^2+t+4{)}^2}=\frac{-t^2-2t+3}{(t^2+t+4{)}^2}=\frac{-(t-1)(t+3)}{(t^2+t+4{)}^2}.$$ Với $t\ge 0$: $P^{\prime }(t)>0$ khi $0\le t<1$ và $P^{\prime }(t)<0$ khi $t>1$. Vậy số lượng vi khuẩn tăng đến $t=1$ giờ rồi bắt đầu giảm từ thời điểm $t=1$ giờ. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ với $t\ge 0$ (t tính từ năm 1970).
a) Đầu năm 1980: $t=10$, $f(10)=\frac{260+10}{15}=\frac{270}{15}=18$ nghìn người → đúng.
b) Đầu năm 1995: $t=25$, $f(25)=\frac{650+10}{30}=\frac{660}{30}=22$ nghìn người, không phải 23 → sai.
c) $f^{\prime }(t)=\frac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5{)}^2}=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ nên hàm đồng biến trên $[0;+\infty )$ → đúng.
d) Năm 1998: $t=28$, $f^{\prime }(28)=\frac{120}{33^2}=\frac{120}{1089}\approx 0,1102$ nghìn người/năm, không phải 0,125 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đầu năm 1980 tương ứng $t=10$: $f(10)=\frac{270}{15}=18$ nghìn người.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đầu năm 1995 tương ứng $t=25$: $f(25)=\frac{660}{30}=22$ nghìn người, không phải 23.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ nên hàm số đồng biến trên $[0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Năm 1998 tương ứng $t=28$: $f^{\prime }(28)=\frac{120}{1089}\approx 0,1102$ nghìn người/năm, không phải 0,125.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-2)$ nên hàm đồng biến trên khoảng này (A sai). $y^{\prime }<0$ trên $(-2;0)$ nên hàm nghịch biến (B sai). Tại $x=0$ đạo hàm không xác định (||), nên không thể nói hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ (C sai). Trên $(0;2)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này (D đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;1)$, còn $y^{\prime }>0$ trên $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, khoảng mà hàm số nghịch biến trên toàn khoảng là $(-\infty ;-1)$. Lưu ý $(-1;+\infty )$ và $(-\infty ;1)$ không thỏa vì $y^{\prime }$ đổi dấu tại $x=1$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2-1\ge 0\iff x\le -1$ hoặc $x\ge 1$. Với $y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$: trên $(1;+\infty )$ có $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến; trên $(-\infty ;-1)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến. Do đó mệnh đề đúng là A. B sai vì $(-\infty ;0)$ không nằm trọn trong tập xác định; C, D sai vì hàm không đồng biến trên các khoảng đó.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên tập xác định của nó:
- (I) $y=\frac{2x+1}{x+1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng, không có khoảng nghịch biến → loại.
- (II) $y=-x^4+x^2-2$, TXĐ $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=-4x^3+2x=-2x(2x^2-1)$. Với $x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); với $-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<0$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến); với $0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); với $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Vậy hàm số vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến → thỏa mãn.
- (III) $y=x^3+3x-4$, TXĐ $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ với mọi $x$, hàm số luôn đồng biến, không có khoảng nghịch biến → loại.
Vậy chỉ hàm (II) thỏa mãn, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ (đáp án D) là khoảng đồng biến. Các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ là khoảng nghịch biến, còn $(-1;1)$ không phải khoảng đồng biến vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-2f(x)$ có đạo hàm $y^{\prime }=-2f^{\prime }(x)=-2x^2+4x=-2x(x-2)$. Hàm đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff -2x(x-2)>0\iff x(x-2)<0\iff 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của Câu 3, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$ (tại $x=0$ hàm số không xác định, $y^{\prime }$ có dấu ||). Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến của hàm số. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-2x-3$. Cho $y^{\prime }<0\iff x^2-2x-3<0\iff -1<x<3$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)$ cắt/trụ trục hoành tại $x=-1$ (tiếp xúc) và $x=2$, với giá trị nhỏ nhất $(1;-4)$, nên $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $\mathbb{R}$ (chỉ bằng 0 tại $x=-1$ và $x=2$). Do đó hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. a) Sai: vì $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $(-\infty ;-1)$ nên hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên khoảng này. b) Đúng: trên $(-\infty ;2)$ ta có $f^{\prime }(x)\le 0$ (chỉ $f^{\prime }(-1)=0$), nên $f$ nghịch biến trên khoảng này. c) Đúng: vì $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $1<2$ nên $f(1)>f(2)$. d) Sai: vì $f$ nghịch biến và $-1<3$ nên $f(-1)\ge f(3)$, không suy ra $f(-1)\le f(3)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ (đồ thị $f^{\prime }$ nằm dưới trục hoành, tiếp xúc tại $x=-1$), nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;2)$ có $f^{\prime }(x)\le 0$ với $f^{\prime }(-1)=0$, nên $f$ nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $1<2$ nên $f(1)>f(2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $-1<3$ nên $f(-1)\ge f(3)$; khẳng định $f(-1)\le f(3)$ sai.