Trong các hàm số sau, hàm số nào vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến trên tập xác định của nó. (I). $y=\frac{2x+1}{x+1}$, (II). $y=-x^4+x^2-2$, (III). $y=x^3+3x-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên tập xác định của nó:
- (I) $y=\frac{2x+1}{x+1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số chỉ đồng biến trên từng khoảng, không có khoảng nghịch biến → loại.
- (II) $y=-x^4+x^2-2$, TXĐ $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=-4x^3+2x=-2x(2x^2-1)$. Với $x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); với $-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<0$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến); với $0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); với $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Vậy hàm số vừa có khoảng đồng biến vừa có khoảng nghịch biến → thỏa mãn.
- (III) $y=x^3+3x-4$, TXĐ $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ với mọi $x$, hàm số luôn đồng biến, không có khoảng nghịch biến → loại.
Vậy chỉ hàm (II) thỏa mãn, đáp án D.