Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) Vì mẫu số $x-2=0\iff x=2$ và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$, đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=2$ → Đúng.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$ (đường thẳng $x=1$ là đường thẳng đứng, không phải tiệm cận ngang) → Sai.
c) Phương trình hoành độ giao điểm: $x-1=\frac{x+2}{x-2}\iff (x-1)(x-2)=x+2\iff x^2-4x+2=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$. Hai giao điểm có tọa độ $(2-\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ và $(2+\sqrt{2};1+\sqrt{2})$. Độ dài dây: $\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{8+8}=4\ne 4\sqrt{5}$ → Sai.
d) Với $M(x;1+\frac{4}{x-2})$ thuộc $(C)$, khoảng cách đến hai tiệm cận $x=2$ và $y=1$ là $|x-2|$ và $\left|\frac{4}{x-2}\right|$. Đặt $t=|x-2|>0$, tổng $S=t+\frac{4}{t}\ge 2\sqrt{4}=4$ (AM-GM), dấu bằng khi $t=2$, tức $x=0$ hoặc $x=4$ (thuộc tập xác định). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 4 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số triệt tiêu tại $x=2$ và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên $(C)$ có tiệm cận đứng $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$, không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x-1=\frac{x+2}{x-2}$ được $x^2-4x+2=0$, hai nghiệm $x=2\pm \sqrt{2}$; độ dài dây $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=4\ne 4\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng khoảng cách $t+\frac{4}{t}\ge 4$ với $t=|x-2|>0$, đạt min bằng 4 khi $t=2$ (ví dụ $x=0$ hoặc $x=4$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2mx+m}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2m$ (tỉ số hệ số cao nhất $\frac{2m}{1}=2m$). Hai tiệm cận cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có các cạnh bằng $1$ và $|2m|$. Diện tích $=1\cdot |2m|=8\Rightarrow |2m|=8\Rightarrow m=\pm 4$. Tổng các giá trị $m$: $4+(-4)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$ mẫu số bằng 0, và ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{2x-2}{x+1}=\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$. (Tiệm cận ngang là $y=2$.) Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $2x^3+3x^2-3=(x^2-1)(2x+3)+2x$, nên $y=2x+3+\frac{2x}{x^2-1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x}{x^2-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;1)$ và $(1;2)$ ta có $y^{\prime }<0$, tại $x=2$ có $y^{\prime }=0$ và $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$; các giới hạn: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$, $f(2)=-2$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$.
a) Sai: hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;2)$, không nghịch biến trên cả khoảng $(-\infty ;2)$ (do gián đoạn tại $x=1$).
b) Đúng: vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) Sai: chỉ có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$ còn ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5\ne 3$, nên $y=3$ không là tiệm cận ngang.
d) Đúng: $y=\frac{1}{f(x)+2}$ có tiệm cận đứng khi $f(x)+2=0$, tức $f(x)=-2$, xảy ra tại $x=2$; ngoài ra khi $x\to 1$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên $f(x)+2\to \pm \infty$, tức $x=1$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy có hai tiệm cận đứng $x=1$ và $x=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;2)$, không thể nói nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ vì hàm gián đoạn tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$ nhưng ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5\ne 3$, nên $y=3$ không là tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-2$ tại $x=2$ cho tiệm cận đứng $x=2$; khi $x\to 1$, $f(x)+2\to \pm \infty$ cho tiệm cận đứng $x=1$. Vậy có hai tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ với $x\ne 1$.
a) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Đúng.
b) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\left(1+\frac{1}{x(x-1)}\right)=1\ne -1$. Sai.
c) ${\lim }_{x\to +\infty }\left[f(x)-x\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x-1}=0\ne 1$. Sai.
d) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]=0$ nên $y=x$ là tiệm cận xiên của $(C)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x^2-x+1}{x-1}=\pm \infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=1\ne -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }\left[f(x)-x\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x-1}=0\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]=0$ nên $y=x$ là tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=2$ nên mẫu $bx-2=0$ tại $x=2$, suy ra $2b-2=0\Rightarrow b=1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{b}=3$ nên $a=3b=3$. Vậy $a-2b=3-2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$ (tử mẫu tại $x=-2$) và tiệm cận ngang $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+2}=1$. Vậy giao điểm $I(a;b)=(-2;1)$, suy ra $T=a+b=-2+1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta thực hiện phép chia: $\frac{2x^3+5x^2-1}{x^2-x+1}=2x+7+\frac{5x-8}{x^2-x+1}$ (kiểm tra: $(x^2-x+1)(2x+7)=2x^3+5x^2-2x+7$, cộng dư $5x-8$ đúng bằng $2x^3+5x^2-1$ trừ đi). Vì $x^2-x+1>0$ với mọi $x$ và $\frac{5x-8}{x^2-x+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+7$. Vậy hệ số góc $k=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số: $x^3-x^2-5x-3=(x+1{)}^2(x-3)$ (thử $x=-1$ là nghiệm, chia được $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$). Tử số: $x^3-9x=x(x-3)(x+3)$.
- Tại $x=3$: cả tử và mẫu bằng 0, sau rút gọn hàm số xác định tại $x=3$ (điểm rút gọn), không có tiệm cận đứng.
- Tại $x=-1$: tử số bằng $(-1)(1-9)=8\ne 0$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng (nghiệm bội vẫn chỉ cho một tiệm cận đứng).
- Bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=1$.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: $x=-1$; tiệm cận ngang: $y=2$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x+1}=2$). Với $M(x;y)\in (C)$: khoảng cách đến TCĐ là $d_1=|x+1|$, khoảng cách đến TCN là $d_2=|y-2|$. Ta có $y-2=\frac{2x-1}{x+1}-2=\frac{2x-1-2x-2}{x+1}=\frac{-3}{x+1}$, nên $d_2=\frac{3}{|x+1|}$. Tích $d_1\cdot d_2=|x+1|\cdot \frac{3}{|x+1|}=3$ (không phụ thuộc $M$). Vậy tích các khoảng cách bằng $3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận của $y=\frac{2x-1}{x-1}$ là $x=1$ và $y=2$. Với điểm $M(a;b)$ thuộc $(C)$ có $a>0$: nếu $0<a<1$ thì $b=2+\frac{1}{a-1}<0$, tổng khoảng cách $d_1+d_2=|a-1|+\left|b-2\right|=(1-a)+\frac{1}{1-a}\ge 2$ với dấu bằng khi $1-a=1$, tức $a=0$ (loại vì hoành độ dương). Xét nhánh $a>1$: $b=2+\frac{1}{a-1}$, khi đó $d_1+d_2=(a-1)+\frac{1}{a-1}\ge 2$ theo AM–GM, dấu bằng khi $a-1=1\Rightarrow a=2$, suy ra $b=2+1=3$. Vậy $M(2;3)$ và $a+2b=2+2\cdot 3=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x+2}{2x-3}=1+\frac{5}{2x-3}$. Tiệm cận đứng $x=\frac{3}{2}$, tiệm cận ngang $y=1$. Với $M(x;y)\in (C)$: $|y-1|=\left|\frac{5}{2x-3}\right|$, khoảng cách đến tiệm cận đứng là $\left|x-\frac{3}{2}\right|=\frac{|2x-3|}{2}$. Điều kiện $\left|\frac{5}{2x-3}\right|=10\cdot \frac{|2x-3|}{2}$, đặt $t=|2x-3|>0$: $\frac{5}{t}=5t\Rightarrow t=1\Rightarrow |2x-3|=1\Rightarrow x=2$ hoặc $x=1$. Vậy có 2 điểm $M$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Đồ thị $g(x)=\frac{ax+1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=a$. Bốn tiệm cận này tạo thành hình chữ nhật với hai cạnh song song trục hoành có độ dài $|2-1|=1$ và hai cạnh song song trục tung có độ dài $|a-1|$. Diện tích $=1\cdot |a-1|=4\Rightarrow |a-1|=4\Rightarrow a=5$ hoặc $a=-3$. Vì $a>0$ và $a\ne -\frac{1}{2}$ nên $a=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $-\frac{c}{b}=1\Rightarrow c=-b$; tiệm cận ngang $y=\frac{1}{b}=1\Rightarrow b=1,c=-1$. Đồ thị đi qua $(0;2)$: $\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=-2$ (kiểm tra $(2;0)$: $\frac{2-2}{2-1}=0$ đúng). Vậy $y=\frac{x-2}{x-1}$.

a) Tiệm cận đứng $x=1$: đúng.
b) Tiệm cận ngang là $y=1$, không phải $y=0$: sai.
c) $y^{\prime }=\frac{c-a}{(bx+c{)}^2}=\frac{-1+2}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (không liên tục tại $x=1$): sai.
d) $T=a-3b-2c=-2-3-2(-1)=-3$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=1$, tức $-c/b=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang là $y=1/b=1$, không phải $y=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{c-a}{(bx+c{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ do gián đoạn tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-2,b=1,c=-1$: $T=-2-3+2=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại hàm số: $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=\frac{(x+2{)}^2+1}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$.
a) Điều kiện $x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, khẳng định sai.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+2)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+2$: đúng.
c) ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$: đúng.
d) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$, tức $I(-2;0)$ (thay $x=-2$ vào $y=x+2$ được $y=0$): đúng.
a) Hàm số xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}\ne \mathbb{R}$, khẳng định sai.
b) Viết lại $y=x+2+\frac{1}{x+2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+2)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$: tiệm cận xiên là $y=x+2$, khẳng định đúng.
c) ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-2$, khẳng định đúng.
d) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$. Tại $x=-2$: $y=-2+2=0$, giao điểm là $I(-2;0)$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-2$ nên $bx-c=0$ tại $x=-2$: $-2b-c=0$, suy ra $c=-2b$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1$, suy ra $a=b$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{a(bx-c)-b(ax-6)}{(bx-c{)}^2}=\frac{-ac+6b}{(bx-c{)}^2}$. Thay $a=b$, $c=-2b$: $-ac+6b=2b^2+6b=2b(b+3)$. Hàm nghịch biến trên mỗi nhánh nên $2b(b+3)<0$, tức $-3<b<0$. Khi đó $a=b<0$ (âm), $b<0$ (âm), $c=-2b>0$ (dương). Vậy trong các số $a,b,c$ có đúng 2 số âm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ nên đường thẳng $x=0$ là tiệm cận đúng; vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=-\infty$ nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đúng. Vậy đồ thị có hai tiệm cận đúng là $x=0$ và $x=2$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$ nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{2}{1}=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$ (với $x\ne 1$), đồ thị là đường thẳng bị thủng một điểm, không có tiệm cận đứng.
- B: $y=\frac{x^2}{x^2+1}$ xác định với mọi $x$, không có tiệm cận đứng (có tiệm cận ngang $y=1$).
- C: $y=\sqrt{x^2-1}$ xác định khi $|x|\ge 1$, không có tiệm cận đứng.
- D: $y=\frac{x}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{x}{x+1}=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$.
Vậy đáp án là D.