Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0$ tại $x=-1$ và $x=3$, tử số khác 0 tại hai điểm đó nên đồ thị có hai tiệm cận đứng $x=-1$ và $x=3$. Vì bậc tử bằng bậc mẫu (đều bằng 2) nên có tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$. Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận (hai đứng, một ngang). Do đó các khẳng định B, C, D đều đúng, còn khẳng định A (tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$) là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn khi $x\to \pm \infty$ của từng hàm số:
- A: $y=\frac{x^2+1}{x-1}$, bậc tử cao hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên $y=x+1$ và tiệm cận đứng $x=1$).
- B: $y=\frac{x-1}{x^2+1}$, bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, có tiệm cận ngang $y=0$.
- C: $y=\frac{x-1}{x+2}$, bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=1$.
- D: $y=\frac{1}{x+1}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, có tiệm cận ngang $y=0$.
Vậy chỉ đồ thị ở đáp án A không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-1}$ là $D=(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{|x|\sqrt{1-4/x^2}}{x-1}=1$, nên $y=1$ là tiệm cận ngang; ${\lim }_{x\to -\infty }y=\frac{|x|}{x-1}\to -1$, nên $y=-1$ cũng là tiệm cận ngang.
- Tiệm cận đứng: điểm $x=1$ không nằm ở biên của tập xác định (khoảng $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$ gần như hoàn toàn ngoài $D$), nên không có tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có đúng 2 đường tiệm cận: $y=1$ và $y=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -9$ và $x^2+x\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne -1$. Xét các giá trị làm mẫu số bằng 0:

- Tại $x=0$: tử số $\sqrt{0+9}-3=3-3=0$, nên ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x+9-9}{x^2+x(\sqrt{x+9}+3)}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x+\sqrt{x+9}+3}=\frac{1}{6}$ (hữu hạn) $\Rightarrow x=0$ không phải tiệm cận đứng.

- Tại $x=-1$: tử số $\sqrt{-1+9}-3=2\sqrt{2}-3\ne 0$, mẫu số tiến về 0 khi $x\to -1$ $\Rightarrow {\lim }_{x\to -1}y=\infty$, vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x-1\ge 0$ và $x^2-1\ne 0$ nên $D=(1;+\infty )$.
- Tiệm cận đứng: xét $x\to 1^{+}$. Ta có $y=\frac{(x-2)\sqrt{x-1}}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{(x+1)\sqrt{x-1}}\to \frac{-1}{2\cdot 0^{+}}=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(x-2)\sqrt{x-1}}{x^2-1}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x\sqrt{x}\left(1-\frac{2}{x}\right)\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{x}}=0$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 5$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=2$ và $y=5$. Tại $x=1$: khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ (tiệm cận đứng $x=1$), còn khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to 3$ (hữu hạn). Vậy có 1 tiệm cận đứng. Tổng: $2+1=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to -\infty$; trên khoảng $(-\infty ,-2)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $+\infty$, nên tại $x=-2$ hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$. Trên khoảng $(-2,0)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $1$, nên tại $x=0$ có tiệm cận đứng $x=0$ (giá trị $1$ tại $x=0$ là giá trị giới hạn một bên, không phải giá trị hữu hạn tại điểm liên tục vì hàm không xác định tại $x=0$ theo bảng). Khi $x\to +\infty$, $y\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$. Vậy đồ thị có 3 đường tiệm cận: $x=-2$, $x=0$ và $y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{4}{f(x)+2}$.

Tiệm cận đứng: xảy ra khi $f(x)+2=0$, tức $f(x)=-2$. Từ bảng biến thiên:
- Trên $(-\infty ;-1)$: $f$ tăng từ $1$ đến $+\infty$, nên $f(x)=-2$ có đúng 1 nghiệm.
- Trên $(-1;1)$: $f$ tăng từ $-\infty$ đến $0$, nên $f(x)=-2$ có đúng 1 nghiệm.
- Trên $(1;+\infty )$: $f$ giảm từ $0$ đến $3$, nên $f(x)=-2$ có đúng 1 nghiệm.
Vậy có 3 tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 1$ nên $y\to \frac{4}{3}$; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 3$ nên $y\to \frac{4}{5}$. Vậy có 2 tiệm cận ngang.

Tổng số tiệm cận: $3+2=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=5$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-5$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=5$ và $y=-5$. Tại $x=-2$, ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=+\infty$; tại $x=-1$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=+\infty$ (hàm liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$... thực tế gián đoạn tại $x=-2$ và $x=-1$ theo bảng biến thiên) nên có hai tiệm cận đứng $x=-2$ và $x=-1$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $2+2=4$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có hai nhánh tiến ra vô cực khi $x$ tiến về $1$, nên đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$ (đường tiệm cận ngang là $y=1$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: có hai đường tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=1$ (hai đường đứt nét dọc). Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến tới đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ (đường đứt nét ngang, đồ thị đi qua điểm $(0;\frac{1}{2})$) nên có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x-1-\frac{1}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x+1}\to 0$ nên $f(x)-(2x-1)=-\frac{1}{x+1}\to 0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=2x-1$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-3x-1}{x-2}=\frac{(x-2)(2x+1)+1}{x-2}=2x+1+\frac{1}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+2}{x-3}=x+1+\frac{5}{x-3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$, tức $a=1,b=1$. Vậy $a^2+2b=1+2=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^3+2=(x^2-2x)(x+2)+(4x+2)$, nên $y=x+2+\frac{4x+2}{x^2-2x}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+2$. Đường này cắt trục tung tại $A(0;2)$ và cắt trục hoành tại $B(-2;0)$. Diện tích tam giác $OAB$ (vuông tại $O$) là $S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^3+x+1}{x^2-1}=x+\frac{2x+1}{x^2-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2x+1}{x^2-1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $d:y=x$ (tức $a=1,b=0$). Thử các điểm: $M(-1;2)$: $2\ne -1$; $N(2;2)$: $2=2$ đúng; $P(2;-2)$, $Q(2;-1)$ sai. Vậy điểm $N(2;2)$ thuộc $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x-1}{x^2+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, chỉ có TCN $y=0$, không có tiệm cận xiên.
- B: $y=\sqrt{x^2-2x+3}=\sqrt{(x-1{)}^2+2}$, khi $x\to \pm \infty$ tiệm cận xiên là $y=|x-1|$, tức $y=x-1$ (bên phải) và $y=-x+1$ (bên trái), không phải $y=x+2$.
- C: $y=\frac{x^2+1}{x-2}=\frac{x^2-4+5}{x-2}=x+2+\frac{5}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x-2}\to 0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+2)\right]=0$. Vậy $y=x+2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.
- D: $y=\frac{2x^2+x+1}{2x+1}=x+\frac{1}{2x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x$, không phải $y=x+2$.

Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5-4x}{2x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{-4(2x+3)-2(5-4x)}{(2x+3{)}^2}=\frac{-22}{(2x+3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -\frac{3}{2}$, nên hàm số không có cực trị (đúng). TXĐ: $x\ne -\frac{3}{2}$, nên tiệm cận đứng là $x=-\frac{3}{2}$ chứ không phải $x=-3$ (sai). Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{-4}{2}=-2$ nên tiệm cận ngang là $y=-2$ (đúng). Hai tiệm cận $x=-\frac{3}{2}$ và $y=-2$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật có diện tích $\left|-\frac{3}{2}\right|\cdot |-2|=3$ (đúng).
a) $y^{\prime }=\frac{-22}{(2x+3{)}^2}\ne 0$ trên TXĐ nên hàm số không có cực trị.
b) Hàm số xác định khi $x\ne -\frac{3}{2}$, nên tiệm cận đứng là $x=-\frac{3}{2}$, không phải $x=-3$.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5-4x}{2x+3}=-2$ nên tiệm cận ngang là $y=-2$.
d) Hình chữ nhật tạo bởi $x=-\frac{3}{2}$, $y=-2$ và hai trục có diện tích $\frac{3}{2}\cdot 2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ với $x\ne 1$.
- Tiệm cận đứng: $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$).
- Tiệm cận xiên: $y=x$ vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$.
- Vì bậc tử (2) cao hơn bậc mẫu (1) đúng 1 bậc nên không có tiệm cận ngang.
a) Đúng: đồ thị không có tiệm cận ngang.
b) Sai: tiệm cận xiên $y=x$ đi qua gốc tọa độ, cắt cả hai trục tại $(0;0)$ nên không tạo thành tam giác có diện tích 1 (diện tích bằng 0).
c) Đúng: giao điểm hai tiệm cận là $I(1;1)$, mà $1=1^2$ nên $I\in \{y=x^2\}$.
d) Đúng: hệ số góc của tiệm cận xiên $y=x$ là $1$; đường thẳng $x+y-\pi =0$ có hệ số góc $-1$; tích $1\cdot (-1)=-1$ nên hai đường vuông góc.
a) Bậc tử cao hơn bậc mẫu đúng 1 bậc nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$, không có tiệm cận ngang.
b) Tiệm cận xiên là $y=x$, đi qua gốc tọa độ nên không tạo với hai trục một tam giác có diện tích 1.
c) Giao hai tiệm cận $x=1$ và $y=x$ là $I(1;1)$, thỏa $1=1^2$ nên nằm trên parabol $y=x^2$.
d) Hệ số góc của $y=x$ là $1$, của $x+y-\pi =0$ là $-1$, tích bằng $-1$ nên vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $2x^2+3x-5=(x+3)(2x-3)+4$, nên $f(x)=2x-3+\frac{4}{x+3}$. Tiệm cận xiên $\Delta :y=2x-3$, tiệm cận đứng $x=-3$.
a) $\Delta \cap Ox$: $2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}=1,5<2$ → Sai.
b) Tại $x=-3$: $y=2(-3)-3=-9$, giao điểm $(-3;-9)$ → Đúng.
c) $A=(1,5;0)$, $B=(0;-3)$, $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 1,5\cdot 3=2,25<3$ → Sai.
d) $y=2x-3$ đồng biến, max trên $[0;3]$ tại $x=3$ là $3\ne 4$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm Δ với Ox có hoành độ x=3/2=1,5<2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=-3, y=2(-3)-3=-9 nên giao điểm là (-3;-9).
c) (AI giải đề cho tôi)
S_OAB=1/2·1,5·3=2,25<3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Max của y=2x-3 trên [0;3] là y(3)=3, không phải 4.