Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2mx+m}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2m$ (tỉ số hệ số cao nhất $\frac{2m}{1}=2m$). Hai tiệm cận cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có các cạnh bằng $1$ và $|2m|$. Diện tích $=1\cdot |2m|=8\Rightarrow |2m|=8\Rightarrow m=\pm 4$. Tổng các giá trị $m$: $4+(-4)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $2x^3+3x^2-3=(x^2-1)(2x+3)+2x$, nên $y=2x+3+\frac{2x}{x^2-1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x}{x^2-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x+3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ với $x\ne 1$.
a) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Đúng.
b) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\left(1+\frac{1}{x(x-1)}\right)=1\ne -1$. Sai.
c) ${\lim }_{x\to +\infty }\left[f(x)-x\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x-1}=0\ne 1$. Sai.
d) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]=0$ nên $y=x$ là tiệm cận xiên của $(C)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x^2-x+1}{x-1}=\pm \infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=1\ne -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }\left[f(x)-x\right]={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x-1}=0\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]=0$ nên $y=x$ là tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=2$ nên mẫu $bx-2=0$ tại $x=2$, suy ra $2b-2=0\Rightarrow b=1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{b}=3$ nên $a=3b=3$. Vậy $a-2b=3-2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+2}$ có tiệm cận đứng $x=-2$ (tử mẫu tại $x=-2$) và tiệm cận ngang $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+2}=1$. Vậy giao điểm $I(a;b)=(-2;1)$, suy ra $T=a+b=-2+1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta thực hiện phép chia: $\frac{2x^3+5x^2-1}{x^2-x+1}=2x+7+\frac{5x-8}{x^2-x+1}$ (kiểm tra: $(x^2-x+1)(2x+7)=2x^3+5x^2-2x+7$, cộng dư $5x-8$ đúng bằng $2x^3+5x^2-1$ trừ đi). Vì $x^2-x+1>0$ với mọi $x$ và $\frac{5x-8}{x^2-x+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+7$. Vậy hệ số góc $k=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $-\frac{c}{b}=1\Rightarrow c=-b$; tiệm cận ngang $y=\frac{1}{b}=1\Rightarrow b=1,c=-1$. Đồ thị đi qua $(0;2)$: $\frac{a}{c}=2\Rightarrow a=-2$ (kiểm tra $(2;0)$: $\frac{2-2}{2-1}=0$ đúng). Vậy $y=\frac{x-2}{x-1}$.

a) Tiệm cận đứng $x=1$: đúng.
b) Tiệm cận ngang là $y=1$, không phải $y=0$: sai.
c) $y^{\prime }=\frac{c-a}{(bx+c{)}^2}=\frac{-1+2}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (không liên tục tại $x=1$): sai.
d) $T=a-3b-2c=-2-3-2(-1)=-3$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=1$, tức $-c/b=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang là $y=1/b=1$, không phải $y=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{c-a}{(bx+c{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ do gián đoạn tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-2,b=1,c=-1$: $T=-2-3+2=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại hàm số: $y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}=\frac{(x+2{)}^2+1}{x+2}=x+2+\frac{1}{x+2}$.
a) Điều kiện $x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, khẳng định sai.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+2)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$, nên tiệm cận xiên là $y=x+2$: đúng.
c) ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$: đúng.
d) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$, tức $I(-2;0)$ (thay $x=-2$ vào $y=x+2$ được $y=0$): đúng.
a) Hàm số xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}\ne \mathbb{R}$, khẳng định sai.
b) Viết lại $y=x+2+\frac{1}{x+2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+2)\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+2}=0$: tiệm cận xiên là $y=x+2$, khẳng định đúng.
c) ${\lim }_{x\to -2^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -2^{-}}y=-\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=-2$, khẳng định đúng.
d) Đồ thị $y=x+2+\frac{1}{x+2}$ có tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận xiên $y=x+2$ và tiệm cận đứng $x=-2$. Tại $x=-2$: $y=-2+2=0$, giao điểm là $I(-2;0)$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2$ (với $x\ne 1$), đồ thị là đường thẳng bị thủng một điểm, không có tiệm cận đứng.
- B: $y=\frac{x^2}{x^2+1}$ xác định với mọi $x$, không có tiệm cận đứng (có tiệm cận ngang $y=1$).
- C: $y=\sqrt{x^2-1}$ xác định khi $|x|\ge 1$, không có tiệm cận đứng.
- D: $y=\frac{x}{x+1}$ không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{x}{x+1}=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$.
Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)=0$ tại $x=-1$ và $x=3$, tử số khác 0 tại hai điểm đó nên đồ thị có hai tiệm cận đứng $x=-1$ và $x=3$. Vì bậc tử bằng bậc mẫu (đều bằng 2) nên có tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$. Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận (hai đứng, một ngang). Do đó các khẳng định B, C, D đều đúng, còn khẳng định A (tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$) là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn khi $x\to \pm \infty$ của từng hàm số:
- A: $y=\frac{x^2+1}{x-1}$, bậc tử cao hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên $y=x+1$ và tiệm cận đứng $x=1$).
- B: $y=\frac{x-1}{x^2+1}$, bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, có tiệm cận ngang $y=0$.
- C: $y=\frac{x-1}{x+2}$, bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=1$.
- D: $y=\frac{1}{x+1}$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=0$, có tiệm cận ngang $y=0$.
Vậy chỉ đồ thị ở đáp án A không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x-1\ge 0$ và $x^2-1\ne 0$ nên $D=(1;+\infty )$.
- Tiệm cận đứng: xét $x\to 1^{+}$. Ta có $y=\frac{(x-2)\sqrt{x-1}}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{(x+1)\sqrt{x-1}}\to \frac{-1}{2\cdot 0^{+}}=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{(x-2)\sqrt{x-1}}{x^2-1}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x\sqrt{x}\left(1-\frac{2}{x}\right)\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{x}}=0$. Vậy đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$.
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 5$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=2$ và $y=5$. Tại $x=1$: khi $x\to 1^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ (tiệm cận đứng $x=1$), còn khi $x\to 1^{+}$ thì $f(x)\to 3$ (hữu hạn). Vậy có 1 tiệm cận đứng. Tổng: $2+1=3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to -\infty$; trên khoảng $(-\infty ,-2)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $+\infty$, nên tại $x=-2$ hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$. Trên khoảng $(-2,0)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $1$, nên tại $x=0$ có tiệm cận đứng $x=0$ (giá trị $1$ tại $x=0$ là giá trị giới hạn một bên, không phải giá trị hữu hạn tại điểm liên tục vì hàm không xác định tại $x=0$ theo bảng). Khi $x\to +\infty$, $y\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$. Vậy đồ thị có 3 đường tiệm cận: $x=-2$, $x=0$ và $y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=5$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-5$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=5$ và $y=-5$. Tại $x=-2$, ${\lim }_{x\to -2^{+}}f(x)=+\infty$; tại $x=-1$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=+\infty$ (hàm liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$... thực tế gián đoạn tại $x=-2$ và $x=-1$ theo bảng biến thiên) nên có hai tiệm cận đứng $x=-2$ và $x=-1$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $2+2=4$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có hai nhánh tiến ra vô cực khi $x$ tiến về $1$, nên đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$ (đường tiệm cận ngang là $y=1$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: có hai đường tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=1$ (hai đường đứt nét dọc). Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến tới đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ (đường đứt nét ngang, đồ thị đi qua điểm $(0;\frac{1}{2})$) nên có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-3x-1}{x-2}=\frac{(x-2)(2x+1)+1}{x-2}=2x+1+\frac{1}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+2}{x-3}=x+1+\frac{5}{x-3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$, tức $a=1,b=1$. Vậy $a^2+2b=1+2=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^3+2=(x^2-2x)(x+2)+(4x+2)$, nên $y=x+2+\frac{4x+2}{x^2-2x}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+2$. Đường này cắt trục tung tại $A(0;2)$ và cắt trục hoành tại $B(-2;0)$. Diện tích tam giác $OAB$ (vuông tại $O$) là $S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Đáp án A.