Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) Vì mẫu số $x-2=0\iff x=2$ và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$, đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=2$ → Đúng.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$ (đường thẳng $x=1$ là đường thẳng đứng, không phải tiệm cận ngang) → Sai.
c) Phương trình hoành độ giao điểm: $x-1=\frac{x+2}{x-2}\iff (x-1)(x-2)=x+2\iff x^2-4x+2=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$. Hai giao điểm có tọa độ $(2-\sqrt{2};1-\sqrt{2})$ và $(2+\sqrt{2};1+\sqrt{2})$. Độ dài dây: $\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{8+8}=4\ne 4\sqrt{5}$ → Sai.
d) Với $M(x;1+\frac{4}{x-2})$ thuộc $(C)$, khoảng cách đến hai tiệm cận $x=2$ và $y=1$ là $|x-2|$ và $\left|\frac{4}{x-2}\right|$. Đặt $t=|x-2|>0$, tổng $S=t+\frac{4}{t}\ge 2\sqrt{4}=4$ (AM-GM), dấu bằng khi $t=2$, tức $x=0$ hoặc $x=4$ (thuộc tập xác định). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 4 → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số triệt tiêu tại $x=2$ và ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên $(C)$ có tiệm cận đứng $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$, không phải $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x-1=\frac{x+2}{x-2}$ được $x^2-4x+2=0$, hai nghiệm $x=2\pm \sqrt{2}$; độ dài dây $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=4\ne 4\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng khoảng cách $t+\frac{4}{t}\ge 4$ với $t=|x-2|>0$, đạt min bằng 4 khi $t=2$ (ví dụ $x=0$ hoặc $x=4$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;1)$ và $(1;2)$ ta có $y^{\prime }<0$, tại $x=2$ có $y^{\prime }=0$ và $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$; các giới hạn: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$, $f(2)=-2$, ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$.
a) Sai: hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;2)$, không nghịch biến trên cả khoảng $(-\infty ;2)$ (do gián đoạn tại $x=1$).
b) Đúng: vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) Sai: chỉ có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$ còn ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5\ne 3$, nên $y=3$ không là tiệm cận ngang.
d) Đúng: $y=\frac{1}{f(x)+2}$ có tiệm cận đứng khi $f(x)+2=0$, tức $f(x)=-2$, xảy ra tại $x=2$; ngoài ra khi $x\to 1$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên $f(x)+2\to \pm \infty$, tức $x=1$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy có hai tiệm cận đứng $x=1$ và $x=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;2)$, không thể nói nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ vì hàm gián đoạn tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$ nhưng ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5\ne 3$, nên $y=3$ không là tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-2$ tại $x=2$ cho tiệm cận đứng $x=2$; khi $x\to 1$, $f(x)+2\to \pm \infty$ cho tiệm cận đứng $x=1$. Vậy có hai tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số: $x^3-x^2-5x-3=(x+1{)}^2(x-3)$ (thử $x=-1$ là nghiệm, chia được $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$). Tử số: $x^3-9x=x(x-3)(x+3)$.
- Tại $x=3$: cả tử và mẫu bằng 0, sau rút gọn hàm số xác định tại $x=3$ (điểm rút gọn), không có tiệm cận đứng.
- Tại $x=-1$: tử số bằng $(-1)(1-9)=8\ne 0$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng (nghiệm bội vẫn chỉ cho một tiệm cận đứng).
- Bậc tử bằng bậc mẫu nên có tiệm cận ngang $y=1$.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: $x=-1$; tiệm cận ngang: $y=2$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-1}{x+1}=2$). Với $M(x;y)\in (C)$: khoảng cách đến TCĐ là $d_1=|x+1|$, khoảng cách đến TCN là $d_2=|y-2|$. Ta có $y-2=\frac{2x-1}{x+1}-2=\frac{2x-1-2x-2}{x+1}=\frac{-3}{x+1}$, nên $d_2=\frac{3}{|x+1|}$. Tích $d_1\cdot d_2=|x+1|\cdot \frac{3}{|x+1|}=3$ (không phụ thuộc $M$). Vậy tích các khoảng cách bằng $3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận của $y=\frac{2x-1}{x-1}$ là $x=1$ và $y=2$. Với điểm $M(a;b)$ thuộc $(C)$ có $a>0$: nếu $0<a<1$ thì $b=2+\frac{1}{a-1}<0$, tổng khoảng cách $d_1+d_2=|a-1|+\left|b-2\right|=(1-a)+\frac{1}{1-a}\ge 2$ với dấu bằng khi $1-a=1$, tức $a=0$ (loại vì hoành độ dương). Xét nhánh $a>1$: $b=2+\frac{1}{a-1}$, khi đó $d_1+d_2=(a-1)+\frac{1}{a-1}\ge 2$ theo AM–GM, dấu bằng khi $a-1=1\Rightarrow a=2$, suy ra $b=2+1=3$. Vậy $M(2;3)$ và $a+2b=2+2\cdot 3=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x+2}{2x-3}=1+\frac{5}{2x-3}$. Tiệm cận đứng $x=\frac{3}{2}$, tiệm cận ngang $y=1$. Với $M(x;y)\in (C)$: $|y-1|=\left|\frac{5}{2x-3}\right|$, khoảng cách đến tiệm cận đứng là $\left|x-\frac{3}{2}\right|=\frac{|2x-3|}{2}$. Điều kiện $\left|\frac{5}{2x-3}\right|=10\cdot \frac{|2x-3|}{2}$, đặt $t=|2x-3|>0$: $\frac{5}{t}=5t\Rightarrow t=1\Rightarrow |2x-3|=1\Rightarrow x=2$ hoặc $x=1$. Vậy có 2 điểm $M$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Đồ thị $g(x)=\frac{ax+1}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=a$. Bốn tiệm cận này tạo thành hình chữ nhật với hai cạnh song song trục hoành có độ dài $|2-1|=1$ và hai cạnh song song trục tung có độ dài $|a-1|$. Diện tích $=1\cdot |a-1|=4\Rightarrow |a-1|=4\Rightarrow a=5$ hoặc $a=-3$. Vì $a>0$ và $a\ne -\frac{1}{2}$ nên $a=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-2$ nên $bx-c=0$ tại $x=-2$: $-2b-c=0$, suy ra $c=-2b$. Tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1$, suy ra $a=b$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{a(bx-c)-b(ax-6)}{(bx-c{)}^2}=\frac{-ac+6b}{(bx-c{)}^2}$. Thay $a=b$, $c=-2b$: $-ac+6b=2b^2+6b=2b(b+3)$. Hàm nghịch biến trên mỗi nhánh nên $2b(b+3)<0$, tức $-3<b<0$. Khi đó $a=b<0$ (âm), $b<0$ (âm), $c=-2b>0$ (dương). Vậy trong các số $a,b,c$ có đúng 2 số âm.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x-1}$ là $D=(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y={\lim }_{x\to +\infty }\frac{|x|\sqrt{1-4/x^2}}{x-1}=1$, nên $y=1$ là tiệm cận ngang; ${\lim }_{x\to -\infty }y=\frac{|x|}{x-1}\to -1$, nên $y=-1$ cũng là tiệm cận ngang.
- Tiệm cận đứng: điểm $x=1$ không nằm ở biên của tập xác định (khoảng $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$ gần như hoàn toàn ngoài $D$), nên không có tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị có đúng 2 đường tiệm cận: $y=1$ và $y=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -9$ và $x^2+x\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne -1$. Xét các giá trị làm mẫu số bằng 0:

- Tại $x=0$: tử số $\sqrt{0+9}-3=3-3=0$, nên ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x+9-9}{x^2+x(\sqrt{x+9}+3)}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x+\sqrt{x+9}+3}=\frac{1}{6}$ (hữu hạn) $\Rightarrow x=0$ không phải tiệm cận đứng.

- Tại $x=-1$: tử số $\sqrt{-1+9}-3=2\sqrt{2}-3\ne 0$, mẫu số tiến về 0 khi $x\to -1$ $\Rightarrow {\lim }_{x\to -1}y=\infty$, vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{4}{f(x)+2}$.

Tiệm cận đứng: xảy ra khi $f(x)+2=0$, tức $f(x)=-2$. Từ bảng biến thiên:
- Trên $(-\infty ;-1)$: $f$ tăng từ $1$ đến $+\infty$, nên $f(x)=-2$ có đúng 1 nghiệm.
- Trên $(-1;1)$: $f$ tăng từ $-\infty$ đến $0$, nên $f(x)=-2$ có đúng 1 nghiệm.
- Trên $(1;+\infty )$: $f$ giảm từ $0$ đến $3$, nên $f(x)=-2$ có đúng 1 nghiệm.
Vậy có 3 tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 1$ nên $y\to \frac{4}{3}$; khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 3$ nên $y\to \frac{4}{5}$. Vậy có 2 tiệm cận ngang.

Tổng số tiệm cận: $3+2=5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $2x^2+3x-5=(x+3)(2x-3)+4$, nên $f(x)=2x-3+\frac{4}{x+3}$. Tiệm cận xiên $\Delta :y=2x-3$, tiệm cận đứng $x=-3$.
a) $\Delta \cap Ox$: $2x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}=1,5<2$ → Sai.
b) Tại $x=-3$: $y=2(-3)-3=-9$, giao điểm $(-3;-9)$ → Đúng.
c) $A=(1,5;0)$, $B=(0;-3)$, $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 1,5\cdot 3=2,25<3$ → Sai.
d) $y=2x-3$ đồng biến, max trên $[0;3]$ tại $x=3$ là $3\ne 4$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm Δ với Ox có hoành độ x=3/2=1,5<2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=-3, y=2(-3)-3=-9 nên giao điểm là (-3;-9).
c) (AI giải đề cho tôi)
S_OAB=1/2·1,5·3=2,25<3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Max của y=2x-3 trên [0;3] là y(3)=3, không phải 4.

(AI giải đề cho tôi)
Số lần đặt hàng trong năm là $2000/x$. Chi phí đặt hàng: $(2000/x)(200000+100000x)=400000000/x+200000000$. Chi phí lưu kho: mỗi lần có $x/2$ cái lưu kho, chi phí 100000 đồng/cái nên là $50000x$. Vậy $f(x)=50000x+200000000+400000000/x$, tiệm cận xiên $y=50000x+200000000$, tức $a=50000$, $b=200000000$. Do đó $T=b/a=200000000/50000=4000$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;-\frac{1}{2})$ hàm số đồng biến từ $\frac{3}{2}$ đến $+\infty$; trên $(-\frac{1}{2};+\infty )$ đồng biến từ $-\infty$ đến $\frac{3}{2}$; tại $x=-\frac{1}{2}$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng của $f$).

Tiệm cận đứng của $y=\frac{1}{f^2(x)-1}$ xảy ra khi $f^2(x)-1=0$, tức $f(x)=\pm 1$.
- $f(x)=1$: nhánh trái có giá trị từ $\frac{3}{2}$ đến $+\infty$ nên không có nghiệm; nhánh phải đi từ $-\infty$ đến $\frac{3}{2}$ nên có đúng 1 nghiệm (vì $1\in (-\infty ;\frac{3}{2})$).
- $f(x)=-1$: nhánh trái không có nghiệm; nhánh phải có đúng 1 nghiệm (vì $-1\in (-\infty ;\frac{3}{2})$).

Tại $x=-\frac{1}{2}$: khi $x\to -{\frac{1}{2}}^{\pm }$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên $f^2(x)-1\to +\infty$ và $\frac{1}{f^2(x)-1}\to 0$, không phải tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có 2 tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{ax+3}{x+c}$ có tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-c$ và tiệm cận ngang $y=a$. Vì tâm đối xứng $I(-2;-1)$ nên $-c=-2\Rightarrow c=2$ và $a=-1$. Khi đó $a-2c=-1-2\cdot 2=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c=-1$. Tiệm cận xiên $y=ax+2$ đi qua điểm $(0;2)$ và đồ thị có điểm cực tiểu $(0;3)$: $y(0)=2+\frac{b}{c}=2-b=3$ nên $b=-1$. Tại điểm cực tiểu $x=0$: $y^{\prime }=a-\frac{b}{(x+c{)}^2}=0⟹a=\frac{b}{c^2}=-1$. Vậy $a=-1$, $b=-1$, $c=-1$, $P=a+b+c=-3$. Kiểm tra: tiệm cận xiên $y=-x+2$ phù hợp đường đứt nét trên hình.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=3$ nên $3b+c=0\Rightarrow c=-3b$. Giới hạn tại $\pm \infty$ đều bằng $-2$ nên $\frac{a}{b}=-2\Rightarrow a=-2b$. Cận $x\to 3^{+}$: $f\to +\infty$ và $x\to 3^{-}$: $f\to -\infty$. Viết $f(x)=\frac{ax+1}{b(x-3)}$, tại $x=3$ tử số bằng $3a+1=-6b+1$. Cần $\frac{-6b+1}{b}>0$ khi $x\to 3^{+}$. Nếu $b>0$ thì cần $-6b+1>0\Rightarrow b<\frac{1}{6}$ (thỏa); khi đó $a=-2b<0$, $c=-3b<0$. Nếu $b<0$ thì cần $b>\frac{1}{6}$, mâu thuẫn. Vậy chỉ có $b$ dương: có đúng 1 số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và điểm cực tiểu $(2;3)$. Đường tiệm cận xiên là đường thẳng mà hai nhánh đồ thị tiến gần khi $x\to \pm \infty$. Từ hình vẽ, đường tiệm cận xiên đi qua gốc tọa độ và có hệ số góc dương bằng 1 (đường thẳng vẽ trong hình đi qua $O$ và gần các nhánh đồ thị ở hai đầu). Thử lại: với tiệm cận xiên $y=x$, hàm số có dạng $y=x+\frac{A}{x-1}$; điểm cực tiểu tại $x=2$ cho $1-\frac{A}{(2-1{)}^2}=3\Rightarrow A=-2$, khi đó $y=x-\frac{2}{x-1}$, thỏa mãn đồ thị (nhánh phải có cực tiểu $(2;3)$, giá trị tại $x=0$ là $y=2$... phù hợp dạng hình vẽ). Vậy đường tiệm cận xiên là $y=x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-(2m+1)x+m^2-3}{x-1}$ có mẫu $x-1=0$ tại $x=1$. Đồ thị có tiệm cận đứng khi tử số tại $x=1$ khác 0: $1-(2m+1)+m^2-3=m^2-2m-3=(m-3)(m+1)\ne 0$, tức $m\ne 3$ và $m\ne -1$. Số giá trị nguyên $m\in [-10;10]$ là $21$ giá trị, loại đi $2$ giá trị $m=3$ và $m=-1$, còn lại $19$ giá trị. Đáp án A.