Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+1}{bx+c}$ $(a,b,c\in \mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
$f^{\prime }$		$-$		$-$
$f$	$-2$	↘	$-\infty \mid +\infty$	↘	$-2$

Trong các số $a,b,c$ có bao nhiêu số dương?

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=3$ nên $3b+c=0\Rightarrow c=-3b$. Giới hạn tại $\pm \infty$ đều bằng $-2$ nên $\frac{a}{b}=-2\Rightarrow a=-2b$. Cận $x\to 3^{+}$: $f\to +\infty$ và $x\to 3^{-}$: $f\to -\infty$. Viết $f(x)=\frac{ax+1}{b(x-3)}$, tại $x=3$ tử số bằng $3a+1=-6b+1$. Cần $\frac{-6b+1}{b}>0$ khi $x\to 3^{+}$. Nếu $b>0$ thì cần $-6b+1>0\Rightarrow b<\frac{1}{6}$ (thỏa); khi đó $a=-2b<0$, $c=-3b<0$. Nếu $b<0$ thì cần $b>\frac{1}{6}$, mâu thuẫn. Vậy chỉ có $b$ dương: có đúng 1 số dương.