Với $m$ là một tham số thực thì đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2+x-1$ và đường thẳng $y=m$ có nhiều nhất bao nhiêu giao điểm?

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $x^3-2x^2+x-1=m$, tức $f(x)=x^3-2x^2+x-1-m=0$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1=0\iff x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$. Tại $x=\frac{1}{3}$: $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}-1-m=-\frac{23}{27}-m$ (cực đại); tại $x=1$: $f(1)=1-2+1-1-m=-1-m$ (cực tiểu). Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai giá trị cực trị trái dấu, tức $\left(-\frac{23}{27}-m\right)\left(-1-m\right)<0\iff -1<m<-\frac{23}{27}$ (khi đó $-\frac{23}{27}-m>0$ và $-1-m<0$). Do đó số giao điểm nhiều nhất là 3, khớp với đáp án đã cho.