Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $M(a;b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ dương sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiệm cận của $(C)$ nhỏ nhất. Khi đó tổng $a+2b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận của $y=\frac{2x-1}{x-1}$ là $x=1$ và $y=2$. Với điểm $M(a;b)$ thuộc $(C)$ có $a>0$: nếu $0<a<1$ thì $b=2+\frac{1}{a-1}<0$, tổng khoảng cách $d_1+d_2=|a-1|+\left|b-2\right|=(1-a)+\frac{1}{1-a}\ge 2$ với dấu bằng khi $1-a=1$, tức $a=0$ (loại vì hoành độ dương). Xét nhánh $a>1$: $b=2+\frac{1}{a-1}$, khi đó $d_1+d_2=(a-1)+\frac{1}{a-1}\ge 2$ theo AM–GM, dấu bằng khi $a-1=1\Rightarrow a=2$, suy ra $b=2+1=3$. Vậy $M(2;3)$ và $a+2b=2+2\cdot 3=8$.