Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2+2at+b$ có nghiệm $t=1$ và $t=3$, nên $v(t)=3(t-1)(t-3)=3t^2-12t+9$, suy ra $a=-6,b=9$. Vậy $x(t)=t^3-6t^2+9t$. Ta có $x(0)=0$, $x(1)=4$, $x(3)=0$. Với $t>3$ thì $v(t)>0$ nên vật đi theo chiều dương: $x(20)=8000-2400+180=5780$. Tổng quãng đường trong 20 giây đầu: từ $t=0$ đến $t=1$ đi được $4$ m; từ $t=1$ đến $t=3$ đi lùi $4$ m; từ $t=3$ đến $t=20$ đi được $5780$ m. Tổng $=4+4+5780=5788$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi $v(t)=-5t+20=0\Rightarrow t=4$ (giây). Quãng đường là ${\int }_0^4(-5t+20)dt=\left(-\frac{5t^2}{2}+20t\right){|}_0^4=-40+80=40m$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
N(t)=∫(4t³−30t²+500t)dt=t⁴−10t³+250t²+C. Với N(1)=300: 1−10+250+C=300 ⇒ C=59. Lúc 12 giờ trưa tương ứng t=4: N(4)=256−640+4000+59=3675 khách. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc 18 km/h = 5 m/s. Quãng đường trong 15 s: s = 5·15 = 75 m. Chu vi bánh xe: C = π·d = π·0,6 ≈ 1,885 m. Số vòng: 75 / 1,885 ≈ 39,79 → làm tròn đến hàng đơn vị là 40 vòng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần 3 Câu 1 = 40).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm vận tốc tức thời là đạo hàm của tọa độ: $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t-9=-3(t-1)(t-3)$ (m/s), $t\ge 0$.

b) Xét $v(t)=-3t^2+12t-9$ trên $[0;5]$. Ta có $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\iff t=2$. So sánh: $v(0)=-9$, $v(2)=3$, $v(5)=-18$. Vậy vận tốc tức thời lớn nhất bằng $3$ m/s, đạt tại $t=2$ giây.

c) $v(t)=-3(t-1)(t-3)$: $v(t)\ge 0$ trên $[0;1]\cup [3;5]$ và $v(t)<0$ trên $(1;3)$, nên vật đổi chiều tại $t=1$ và $t=3$.
Tọa độ: $s(0)=3$, $s(1)=-1+6-9+3=-1$, $s(3)=-27+54-27+3=3$, $s(5)=-125+150-45+3=-17$.
Quãng đường: $S=|s(1)-s(0)|+|s(3)-s(1)|+|s(5)-s(3)|=4+4+20=28$ m.

Đáp án bảng mã đề 2102, câu 15: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (DDSD). Lưu ý: chữ "Đ." in sẵn sau mệnh đề a) trong bản gốc đề, có thể là đáp án bị in lẫn vào đề.

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc $a=0,004t$ nên $v(t)=\int 0,004tdt=0,002t^2$ (m/s) vì $v(0)=0$.

b) Sai: $v=0,002t^2=2\cdot 10^{-3}{t}^2$, còn $4\cdot 10^{-3}{t}^2$ chính là gia tốc $a$, không phải vận tốc.

c) Đúng: $v(90)=0,002\cdot 90^2=16,2$ m/s $=16,2\cdot 3,6=58,32$ km/h.

d) Đúng: Đoàn tàu đi qua cái cây trong 60 giây nghĩa là quãng đường đầu tàu đi được bằng chiều dài đoàn tàu: $l={\int }_0^{60}0,002t^{2}dt=\frac{0,002\cdot 60^3}{3}=144$ m.

a) Sai: Khi chuyển động đều với $v=16,2$ m/s, để đi qua cầu dài 486 m, đoàn tàu phải đi được $486+144=630$ m, thời gian $t=\frac{630}{16,2}\approx 38,89$ giây $\ne 30$ giây. (Số 30 giây chỉ thu được nếu bỏ qua chiều dài đoàn tàu: $486/16,2=30$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian đi qua cầu dài 486 m với vận tốc 16,2 m/s là (486+144)/16,2 ≈ 38,89 giây, không phải 30 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=∫0,004t dt=0,002t² (m/s), không phải 4·10⁻³t² (đó là gia tốc).
c) (AI giải đề cho tôi)
v(90)=0,002·8100=16,2 m/s=58,32 km/h.
d) (AI giải đề cho tôi)
l=∫₀⁶⁰0,002t²dt=0,002·60³/3=144 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(t)=500+{\int }_0^t(as+b\sqrt{s})ds=500+\frac{a{t}^2}{2}+\frac{2b}{3}{t}^{3/2}$. Theo đề: $P(1)=600\Rightarrow \frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=100$ và $P(4)=1300\Rightarrow 8a+\frac{16b}{3}=800$. Giải hệ: từ phương trình đầu $a=200-\frac{4b}{3}$, thay vào: $1600-\frac{32b}{3}+\frac{16b}{3}=800\Rightarrow b=150$, suy ra $a=0$. Vậy $P(t)=500+100t^{3/2}$, do đó $P(9)=500+100\cdot 27=3200$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc thời gian t=0 là lúc xe B bắt đầu chạy. Quãng đường xe A đi được: s_A(t)=40+∫0^t 15e^{-0.1s}ds=40+150(1-e^{-0.1t}). Quãng đường xe B: s_B(t)=∫0^t (20-20e^{-0.1s})ds=20t+200(e^{-0.1t}-1). Xe B đuổi kịp khi s_A=s_B: 40+150-150e^{-0.1t}=20t+200e^{-0.1t}-200 ⟺ 20t+350e^{-0.1t}=390. Thử: t=15 cho 300+350e^{-1.5}≈377,97<390; t=16 cho 320+350e^{-1.6}≈390,66>390, nên thời điểm bắt kịp t≈15,9 giây. a) Sai vì xe B vượt xe A tại t≈15,9>13 giây. b) Đúng: v1'(t)=-1,5e^{-0.1t}<0 nên tốc độ xe A giảm dần; v2'(t)=2e^{-0.1t}>0 nên tốc độ xe B tăng dần. c) Sai vì xe B bắt kịp xe A tại t≈15,9 giây, nằm trong khoảng thử nghiệm 0≤t≤60. d) Sai vì v2(0)=20-20=0 m/s, không phải 20 m/s.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải 20t+350e^{-0.1t}=390 được t≈15,9 giây >13, nên xe B không vượt xe A trước 13 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
v1'(t)=-1,5e^{-0.1t}<0 (giảm dần), v2'(t)=2e^{-0.1t}>0 (tăng dần).
c) (AI giải đề cho tôi)
Xe B bắt kịp xe A tại t≈15,9 giây, nằm trong khoảng 0≤t≤60.
d) (AI giải đề cho tôi)
v2(0)=20-20e^0=0 m/s, không phải 20 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ xác nhận mặt cắt vuông góc với chiều ngang (15m) là hình thang cân: miệng 24m, đáy 12m, sâu 6m, mỗi bên nghiêng mở rộng 6m. Tại độ sâu nước $h$ (tính từ đáy), bề rộng mặt nước là $w(h)=12+2h$, diện tích mặt nước $S(h)=15(12+2h)$. Thể tích nước $V(h)={\int }_0^{h}15(12+2t)dt=180h+15h^2$, suy ra $\frac{dV}{dh}=180+30h$. Tại $h=5$: $\frac{dV}{dh}=330$. Vì $\frac{dV}{dt}=60m^3/ph\acute{u}t$ nên $\frac{dh}{dt}=\frac{60}{330}=\frac{2}{11}m/ph\acute{u}t$. Vậy $a=2,b=11$, $a^2+b^2=4+121=125$.

(AI giải đề cho tôi)
Chậu hình chóp cụt đều, đáy dưới cạnh 1 dm, đáy trên cạnh 3 dm, chiều cao 4 dm. Theo đồng dạng, cạnh tam giác đều của mặt nước tại chiều cao h là MN = 1 + (3-1)/4 · h = 0,5h + 1.
a) Sai: MN = 0,5h + 1 (h=0 cho MN=1, h=4 cho MN=3, hệ số góc a = 2/4 = 0,5), không phải h + 1.
b) Đúng: Diện tích mặt nước S(h) = (√3/4)MN² = (√3/4)(0,5h+1)². Thể tích V(h) = ∫₀ʰ S(t)dt = (√3/4)(h³/12 + h²/2 + h) = (√3/12)(0,25h³ + 1,5h² + 3h).
c) Sai: Sau 10 phút, V = 0,5·10 = 5 dm³, nên 0,25h³ + 1,5h² + 3h = 20√3 ≈ 34,641. Thử h = 3,27 cho ≈ 34,59; h = 3,28 cho ≈ 34,80; nghiệm h ≈ 3,2727 → làm tròn 3,27 dm, không phải 3,26.
d) Đúng: Tốc độ dâng dh/dt = 0,5/S(h). Tại h ≈ 3,2727: MN ≈ 2,6364, S = (√3/4)(2,6364)² ≈ 3,009 dm², nên dh/dt ≈ 0,5/3,009 ≈ 0,1662 ≈ 0,17 dm/phút.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo đồng dạng MN = 1 + (2/4)h = 0,5h + 1, không phải h + 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
V(h) = ∫₀ʰ (√3/4)(0,5t+1)² dt = (√3/12)(0,25h³ + 1,5h² + 3h).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải 0,25h³+1,5h²+3h = 20√3 ≈ 34,641 được h ≈ 3,2727 → 3,27 dm, không phải 3,26.
d) (AI giải đề cho tôi)
dh/dt = 0,5/S(h) ≈ 0,5/3,009 ≈ 0,1662 ≈ 0,17 dm/phút.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(0)=500$. Vì $P^{\prime }(t)=at+b\sqrt{t}$ nên $P(t)=500+\frac{a{t}^2}{2}+\frac{2b}{3}{t}^{3/2}$.

Từ $P(1)=600$: $\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=100$.

Từ $P(4)=1300$: $8a+\frac{16b}{3}=800$.

Từ phương trình đầu: $a=200-\frac{4b}{3}$. Thay vào: $8\left(200-\frac{4b}{3}\right)+\frac{16b}{3}=800\Rightarrow 1600-\frac{16b}{3}=800\Rightarrow b=150$, suy ra $a=0$.

Vậy $P^{\prime }(t)=150\sqrt{t}$ và $P(9)=500+\frac{2\cdot 150}{3}\cdot 9^{3/2}=500+100\cdot 27=3200$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ ban đầu 36 km/h = 10 m/s. Ô tô đi đều 2 giây đầu: quãng đường 20 m. Khi bắt đầu tăng tốc, v(t)=at+b với b=10 (v(0)=10). Ô tô nhập làn sau 12 giây kể từ lúc cách điểm nhập 200 m, tức sau 10 giây tăng tốc, và quãng đường đến điểm nhập là 200 m nên quãng đường trong 10 giây tăng tốc là 180 m: ∫₀¹⁰(at+10)dt = 50a+100 = 180 ⟹ a = 1,6 m/s².
a) Vận tốc lúc nhập làn: v(10)=10+1,6·10=26 m/s = 93,6 km/h ≠ 72 km/h ⟹ Sai.
b) Tốc độ cao nhất: v(24)=10+1,6·24=48,4 m/s. Đi 5 giây: 242 m, còn cách chướng ngoại vật 300−242=58 m. Quãng đường phanh đến khi dừng: v²/(2·3)=48,4²/6≈390,4 m > 58 m, ô tô không thể dừng trước chướng ngoại vật (sẽ va chạm), nên không thể dừng cách 10 m ⟹ Sai.
c) Quãng đường 30 giây đầu: 20 m (2 s đầu) + 700,8 m (24 s tăng tốc: 0,8·24²+10·24=460,8+240) + 193,6 m (4 s với 48,4 m/s) = 914,4 m ≠ 620 m ⟹ Sai.
d) Quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn: 200−20=180 m ⟹ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với a=1,6 m/s², vận tốc lúc nhập làn v(10)=26 m/s=93,6 km/h, không phải 72 km/h.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ cao nhất 48,4 m/s; đi 5 s được 242 m, còn 58 m. Quãng đường phanh v²/6≈390,4 m > 58 m nên ô tô không dừng lại cách chướng ngoại vật 10 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường 30 giây là 20+700,8+193,6=914,4 m, không phải 620 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
2 giây đầu đi 20 m với 10 m/s; tổng quãng đường đến điểm nhập là 200 m nên quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m.

(AI giải đề cho tôi)
Vật xuất phát từ trạng thái đứng yên nên $v(0)=0$, chuyển động nhanh dần đều với gia tốc $a$ nên $v(t)=at$. Quãng đường $s(t)={\int }_0^{t}atdt=\frac{1}{2}a{t}^2$. Theo đề $s(3)=18\Rightarrow \frac{1}{2}a\cdot 9=18\Rightarrow a=4$. Khi đó $v(5)=4\cdot 5=20$ m/s (không phải 10 m/s). Quãng đường sau 6 giây: $s(6)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 36=72$ m (không phải 36 m). Vậy: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vật bắt đầu từ trạng thái đứng yên nên $v(0)=0$; chuyển động thẳng biến đổi đều với gia tốc $a$ cho vận tốc $v(t)=v(0)+at=at$ (m/s).
b) (AI giải đề cho tôi)
$s(t)={\int }_0^{t}atdt=\frac{1}{2}a{t}^2$. Với $s(3)=18$: $\frac{1}{2}a\cdot 9=18\Rightarrow a=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(5)=a\cdot 5=4\cdot 5=20$ m/s, không phải 10 m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s(6)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6^2=72$ m, không phải 36 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $B^{\prime }(t)=-4t^3+72t^2-320t+384=-4(t-2)(t-4)(t-12)$, với $t\in [0;15]$ (tính từ 8h00). Xét dấu: $B^{\prime }(t)>0$ trên $[0;2)\cup (4;12)$ và $B^{\prime }(t)<0$ trên $(2;4)\cup (12;15]$. Vậy $B(t)$ tăng trên $[0;2]$, giảm trên $[2;4]$, tăng trên $[4;12]$, giảm trên $[12;15]$; số khách nhiều nhất tại $t=12$ (tức 20 giờ).

Nguyên hàm: $B(t)=-t^4+24t^3-160t^2+384t+C$. Vì $t=1$ ứng với 9h00 và $B(1)=300$: $-1+24-160+384+C=300\Rightarrow C=53$.

Tính: $B(2)=357$, $B(4)=309$, $B(12)=-20736+41472-23040+4608+53=2357$, $B(15)=188$. Vậy tại thời điểm đông nhất (20h00), hội chợ có $2357$ khách.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường là tích phân vận tốc: $s={\int }_0^5(19-2t)dt={\left[19t-t^2\right]}_0^5=95-25=70$ (m). Vì $v(t)\ge 0$ trên $[0;5]$ (ô tô chỉ dừng hẳn tại $t=9,5$ s) nên không cần tách khoảng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $Q(t)=\int (3t^2-6t+5)dt=t^3-3t^2+5t+C$. Với $Q(1)=1-3+5+C=3+C=4$ suy ra $C=1$, nên $Q(t)=t^3-3t^2+5t+1$. Khi $t=3$: $Q(3)=27-27+15+1=16$. Vậy điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t=3$ giây là $16$.

(AI giải đề cho tôi)
Thời gian xả lũ: 40 phút = 2400 giây. Lượng nước thoát ra là tích phân của tốc độ lưu lượng: $Q={\int }_0^{2400}(10t+500)dt={\left[5t^2+500t\right]}_0^{2400}=5\cdot 2400^2+500\cdot 2400=28800000+1200000=30000000=3\cdot 10^7(m^3)$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xe dừng khi v(t)=0 ⟹ -8t+20=0 ⟹ t=2,5 giây. Đúng. b) Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: s(t)=∫v(t)dt, không phải s(t)=v'(t). Sai. c) s(t)=∫₀ᵗ(-8u+20)du=-4t²+20t. Đúng. d) Trong 1 giây phản ứng, xe đi 20·1=20 m. Quãng đường phanh đến khi dừng: s(2,5)=-4·6,25+20·2,5=-25+50=25 m. Tổng quãng đường 45 m, còn cách chướng ngại vật 50-45=5 m, không phải 6 m. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=0 ⟹ t=20/8=2,5 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t) là nguyên hàm của v(t): s(t)=∫v(t)dt, còn v'(t) là gia tốc.
c) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=∫₀ᵗ(-8u+20)du=-4t²+20t.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phản ứng 1 giây: 20 m; phanh: s(2,5)=25 m; tổng 45 m; còn 50-45=5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân T1'(t)=75e^{-t} với T1(0)=20 cho T1(t)=95-75e^{-t} (ý c đúng). Nước đạt 85°C khi 95-75e^{-t}=85, tức e^{-t}=2/15, t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây (ý a sai). Khi tắt bếp a=85-15=70 (ý d đúng), T2(t)=15+70e^{-t/20}. T2(t)=40 khi e^{-t/20}=5/14, t=20ln(14/5)≈20,52 phút ≈ 21 phút kể từ lúc tắt bếp (tổng từ lúc bật bếp ≈ 22,5 phút ≈ 23 phút), không phải 25 phút (ý b sai). Kết quả SSĐĐ khớp đáp án nguồn (mã 104).
a) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=95-75e^{-t}=85 ⟹ t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
T2(t)=15+70e^{-t/20}=40 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,52 phút ≈ 21 phút kể từ lúc tắt bếp (tổng từ lúc bật bếp ≈ 23 phút), không phải 25 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=∫75e^{-t}dt=-75e^{-t}+C, T1(0)=20 ⟹ C=95, nên T1(t)=95-75e^{-t}.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại lúc tắt bếp T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70.