Kí hiệu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)={\left(x^2+1\right)}^2$ và $F(1)=\frac{18}{15}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ và thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x+1}$, $f(0)=1$ và $f(1)+f(-2)=2$. Giá trị $f(-3)$ bằng:

Biết rằng $F(x)=a{x}^3+(a+b)x^2+(2a-b+c)x+1$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2+6x+2$. Tính tổng $S=a+b+c$.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc $v(t)=-4t+20$ (m/s) trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian $t$ (s) là $a(t)=2t-7\left({\text{m/s}}^2\right)$. Biết vận tốc ban đầu bằng $10\left(\text{m/s}\right)$, hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thoả mãn $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(x)=\{\begin{array}{l}x+m,x\ge 0\\ e^{2x},x<0\end{array}$ ( $m$ là hằng số). Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}\sin x+2\text{ khi }x\ge 0\\ 2{\cos }^2\frac{x}{2}\text{ khi }x<0\end{array}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt\left({\mathrm{m}}^3/s\right)$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là $150m^3$. Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là $1100m^3$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu $f(t)$ là tổng số lượng vi sinh vật sau $t$ giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ (con/giờ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Cho hàm số $f(x)=\sin x.\cos 2x$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính giá trị của $T=a+b+c(a,b,c\in \mathbb{Z},c\ne 0)$ biết $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{5+a\sqrt{b}}{c}$.

Khi được thả từ độ cao 20 m một vật rơi với gia tốc không đổi $a=10m/{\mathrm{s}}^2$. Sau khi rơi được $t$ giây thì vật có tốc độ bao nhiêu?

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t=0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi $v(t)=160-9,8t(m/s)$. Tìm độ cao lớn nhất của viên đạn (tính từ mặt đất). (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$. Chọn mệnh đề đúng

Tính tích phân $\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{-\frac{\pi }{2}}{\int }}\cos t\mathrm{d}t$

Nếu $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[f(x)+2x\right]\mathrm{d}x$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình thang $OABC$ giới hạn bởi $y=3x+1$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=0,x=1$ (như hình vẽ). [Hình cần kiểm tra lại: p5_f1] Khi đó $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(3x+1)dx$ bằng bao nhiêu?

Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=-1$ và $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}g(x)dx=3$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=-1$; $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=5$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$

Cho $\underset{0}{\overset{m}{\int }}\left(3x^2-2x+1\right)dx=6$. Giá trị của tham số $m$ thuộc khoảng nào sau đây?

Vận tốc của một vật chuyển động là $v(t)=3t^2+5$ $(m/s)$. Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hoá bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0004x+9,3$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm. Khi đó sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 125 đơn vị sản phẩm là

Cho $f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{khi }x\ge 1\\ 2x-1& \text{khi }x<1\end{array}$. Tính $J=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.

Cho $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}f(x)dx=-4$ và $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}g(x)dx=-3$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[0;3]$. $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ thỏa $F(3)=2$ và $F(0)=1$.

Cho $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx$.

Giả sử lợi nhuận biên tính bằng triệu đồng của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận tính bằng triệu đồng khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

Ở nhiệt độ $37^{\circ }C$, một phản ứng hóa học từ chất đầu $A$, chuyển hóa thành chất sản phẩm $B$ theo phương trình: $A\to B$. Giả sử $y(x)$ là nồng độ chất $A$ đơn vị mol/l tại thời điểm $x$ giây, $y(x)>0$ với $x\ge 0$, thỏa mãn hệ thức $y^{\prime }(x)=-7.10^{-4}.y(x)$ với $x\ge 0$. Biết rằng tại $x=0$, nồng độ đầu của $A$ là $0,05$ mol/l. Xét hàm số $f(x)=\ln y(x)$ với $x\ge 0$. Khi đó ta có

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm $t$ (giây) là $v(t)=t^2-t+6$ (mét/giây). Quãng đường (mét) vật đi được trong khoảng thời gian $1\le t\le 4$ bằng bao nhiêu?

Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (tức là lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm $A$ (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm $T$ (s) khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi $c(t)$ là nồng độ (mg/l) chất chỉ thị màu tại thời điểm $t$ (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi $F=\frac{A}{\underset{0}{\overset{T}{\int }}c(t)\mathrm{d}t}$ (l/s). Tính hiệu suất của tim khi bơm 8 mg chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, biết $c(t)=\frac{1}{4}t\left(12-t\right)$ với $0\le t\le 12$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). (Nguồn: James Stewart, Calculus, Cengage Learning)

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}ax+1\text{ khi }x\ge 1\\ x^2+b\text{ khi }x<1\end{array}$ với $a,b$ là các tham số thực. Biết rằng $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết $I={\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{m}{n}+2b+\frac{3a}{2}$ với $m,n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính $S=m-n$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=a$, $x=b$, $y=f(x)$ và trục hoành là

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường $x=a$, $x=b$ bằng

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^3-3x$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^x$, $y=2$, $x=0$, $x=1$.

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$. Biết rằng $f(x)-g(x)=-8$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=0$, $x=1$, đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2$ và tiếp tuyến của nó tại điểm $x=-2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tìm $a$ để diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=\frac{x^2-2x}{x-1}$, đường thẳng $d:y=x-1$ và $x=a$, $x=2a(a>1)$ bằng $\ln 3$?

Cho đồ thị hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1$, $x=3$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Tính diện tích hình phẳng (phần tô đậm) trong hình vẽ bên dưới

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, các khẳng định sau đúng hay sai?

Một viên gạch men có dạng hình vuông $OABC$ như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có $O(0;0)$, $A(0;1)$, $B(1;1)$, $C(1;0)$ và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số $y=x^3$ và $y=\sqrt[3]{x}$.

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Một cánh cổng của tòa nhà có dạng parabol gồm hai phần: Phần làm cửa lối vào hình chữ nhật $ABCD$, còn lại là phần tường trang trí. Biết rằng chiều cao cổng là $IO=9m$, $EF=6m$, $AB=4m$. $S_1$ là diện tích phần cánh cửa của lối vào hình chữ nhật, $S_2$ là diện tích phần tường trang trí. Các khẳng định sau đúng hay sai?
[Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]

Cho parabol $(P):y=x^2-2$, đường thẳng $d:y=x-2$ và $d^{\prime }:x=a$, $a$ là tham số dương.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $60(cm)$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên).

Diện tích phần cánh hoa của viên gạch bằng bao nhiêu $c{m}^2$?

Cổng của một trại du lịch sinh thái có dạng parabol, lối ra vào cổng là hình chữ nhật như hình vẽ. Biết rằng, lối đi hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $CD=2m$, phía ngoài lối đi hình chữ nhật được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí trang trí hoa văn là 240000 đồng cho một mét vuông. Hỏi số tiền để trang trí hoa văn của cổng trại du lịch sinh thái là bao nhiêu triệu đồng?
[Hình cần kiểm tra lại: p12_f2]

Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm $O$. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh $O$ và đối xứng nhau qua $O$. Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành một hình vuông có cạnh bằng $4m$ (như hình vẽ). Phần diện tích $S_1$, $S_2$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_3$, $S_4$ dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí để trồng hoa là 150000 đồng/$1m^2$, kinh phí để trồng cỏ là 100000 đồng/$1m^2$. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).

Cho hai hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+1$ và $g(x)=d{x}^2+ex$ $(a,b,c,d,e\in \mathbb{R})$. Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $-1;\frac{1}{2};2$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu?

Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$, xung quanh trục $Ox$.

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 2)$ cắt vật thể đó có diện tích $S(x)=2024x$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^2-2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^{3x}$, $y=0$, $x=0$ và $x=1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=e^{4x}$, $y=0$, $x=0$ và $x=1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^2+3$, $y=0$, $x=0$ và $x=2$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường cong $y=e^x$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$; $x=1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{x^2+1}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$; $x=1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2+\cos x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$; $x=\frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng $D$ được giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2+\sin x}$, trục hoành và các đường thẳng $x=0$; $x=\pi$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay miền $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?

Các khẳng định sau là đúng hay sai?
a) Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=x^2$, đường thẳng $d:y=2x$ và đường thẳng $x=0$, $x=2$ quay xung quanh trục $Ox$ là
$$V=\pi {\int }_0^{2}4x^2\mathrm{d}x-\pi {\int }_0^2{x}^4\mathrm{d}x.$$
b) Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^2+3$, $y=0$, $x=0$, $x=2$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Khi đó
$$V=\pi {\int }_0^2{\left(x^2+3\right)}^2\mathrm{d}x.$$
c) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}-2$, $y=0$ và $x=4$, $x=9$ quay xung quanh trục $Ox$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng $11\pi$.
d) Cho tam giác vuông $OAB$ có cạnh $OA=a$ nằm trên trục $Ox$ và $\widehat{AOB}=\alpha$ $\left(0\le \alpha \le \frac{\pi }{4}\right)$. Gọi $(H)$ là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác $OAB$ xung quanh trục $Ox$. Thể tích $V$ của $(H)$ bằng $\pi a^3$.