Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}\sin x+2\text{ khi }x\ge 0\\ 2{\cos }^2\frac{x}{2}\text{ khi }x<0\end{array}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<0$: $f(x)=2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$, nên $F(x)=x+\sin x+C_1$. Từ $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$: $-\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+C_1=\pi \Rightarrow C_1=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy với $x<0$: $F(x)=\sin x+x+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ (khẳng định b đúng). Do $F$ liên tục tại $0$: $F(0)=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Với $x\ge 0$: $F(x)=-\cos x+2x+C_2$, $F(0)=-1+C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, nên khẳng định c đúng. a) Sai vì $\int (\sin x+2)dx=-\cos x+2x+C$. d) Tính: $F\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi }{3}$; $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3}-\frac{1}{2}+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}=2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$; $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi -0+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}=\frac{7\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1$. Tổng: $\frac{2\pi }{3}+2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{\pi }{3}-1\ne 5\pi$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (\sin x+2)dx=-\cos x+2x+C$, không phải $\cos x+2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<0$, $f(x)=1+\cos x$ nên $F(x)=x+\sin x+C_1$; từ $F(-\pi /3)=\pi$ suy ra $C_1=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng như khẳng định.
c) (AI giải đề cho tôi)
Do tính liên tục tại $0$, $F(0)=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; với $x\ge 0$, $F(x)=-\cos x+2x+C_2$ với $C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, đúng như khẳng định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(-2\pi /3)=\frac{2\pi }{3}$, $F(\pi /3)=2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$, $F(\pi /2)=\frac{7\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1$; tổng bằng $\frac{\pi }{3}-1\ne 5\pi$.