Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, kí hiệu $f(t)$ là tổng số lượng vi sinh vật sau $t$ giờ. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ (con/giờ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ trên đoạn $[3;10]$ và $f(3)=50$. Nguyên hàm tổng quát: $f(t)=\int (t^2-8t)dt=\frac{t^3}{3}-4t^2+C$. Thay $f(3)=9-36+C=50\Rightarrow C=77$, vậy $f(t)=\frac{t^3}{3}-4t^2+77$ trên $[3;10]$.
a) Sai: $\int (t^2-8t)dt=\frac{t^3}{3}-4t^2+C$, không phải $\frac{t^3}{3}-8t^2+C$.
b) Sai: $f^{\prime }(t)=t(t-8)<0$ với $t\in (3;8)$ và $f^{\prime }(t)>0$ với $t\in (8;10)$, nên số lượng giảm trên $(3;8)$ rồi mới tăng trên $(8;10)$, không tăng liên tục từ 3 đến 10 giờ.
c) Đúng: từ kết quả câu b, $f$ giảm trên $[3;8]$ và tăng trên $[8;10]$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=8$ (tức sau 8 giờ từ lúc bắt đầu thí nghiệm).
d) Đúng: $f(6)=\frac{216}{3}-4\cdot 36+77=72-144+77=5$ con.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ là $\frac{t^3}{3}-4t^2+C$, không phải $\frac{t^3}{3}-8t^2+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=t(t-8)$ âm trên $(3;8)$ và dương trên $(8;10)$, nên số lượng giảm rồi tăng, không tăng liên tục.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ giảm trên $[3;8]$ và tăng trên $[8;10]$ nên đạt nhỏ nhất tại $t=8$ giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(t)=\frac{t^3}{3}-4t^2+77$ (do $f(3)=50$), ta có $f(6)=72-144+77=5$ con.