Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(x)=\{\begin{array}{l}x+m,x\ge 0\\ e^{2x},x<0\end{array}$ ( $m$ là hằng số). Giả sử $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ và $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=e^0=1=f(0)=m$, suy ra $m=1$ (a đúng).

Với $x<0$: $F(x)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$. Từ $F(-1)=\frac{1}{2e^2}$ ta được $\frac{1}{2}{e}^{-2}+C=\frac{1}{2}{e}^{-2}\Rightarrow C=0$, vậy $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}$ với $x<0$, không phải $\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{e^2}$ (b sai).

Do $F$ liên tục tại $0$: $F(0)=\frac{1}{2}{e}^0=\frac{1}{2}$. Với $x\ge 0$: $F(x)=\frac{x^2}{2}+x+C^{\prime }$, và $C^{\prime }=F(0)=\frac{1}{2}$. Suy ra $F(1)=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2$, trong khi $\frac{4e^2-1}{2e^2}=2-\frac{1}{2e^2}\ne 2$ (c sai).

Với $x<0$: $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}>0$; với $x\ge 0$: $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+1{)}^2>0$. Vậy $F(x)>0$ với mọi $x$, đồ thị không có điểm chung với trục hoành (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
f liên tục tại x=0 nên m=f(0)=lim e^{2x}=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=½e^{2x}+C, F(-1)=½e^{-2} cho C=0, vậy F(x)=½e^{2x}, không có số hạng -1/e².
c) (AI giải đề cho tôi)
F(0)=½, với x≥0: F(x)=½x²+x+½, nên F(1)=2 ≠ (4e²−1)/(2e²)=2−1/(2e²).
d) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=½e^{2x}>0 với x<0 và F(x)=½(x+1)²>0 với x≥0, nên F không có nghiệm trên trục hoành.