Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{l}ax+1\text{ khi }x\ge 1\\ x^2+b\text{ khi }x<1\end{array}$ với $a,b$ là các tham số thực. Biết rằng $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết $I={\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{m}{n}+2b+\frac{3a}{2}$ với $m,n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính $S=m-n$.