Cho một vật thể có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính cùng bằng $R$. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một đáy của khối gỗ và tạo với đáy của khối gỗ đó một góc $30^{\circ }$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_1,V_2$ với $V_1<V_2$. Gắn khối gỗ có dạng hình nêm vào hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau



a) Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y=\sqrt{R^2-x^2}$ với $-R\le x\le R$.
b) $MN=\sqrt{R^2-x^2}$.
c) Diện tích tam giác $MNP$ bằng $\frac{R^2-x^2}{2\sqrt{3}}$.
d) $V_1=\frac{\sqrt{3}{R}^3}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gắn hệ trục: đáy hình trụ là đường tròn bán kính R, AB là đường kính nằm trên trục Ox. a) Nửa đường tròn đường kính AB phía trên có phương trình y=√(R²−x²), −R≤x≤R → đúng. b) Tại vị trí x, đoạn MN trong đáy có độ dài MN=√(R²−x²) → đúng. c) Mặt phẳng cắt tạo với đáy góc 30° nên chiều cao MP=MN·tan30°=√(R²−x²)/√3. Diện tích tam giác MNP = ½·MN·MP = (R²−x²)/(2√3) → đúng. d) V₁=∫_{−R}^{R} (R²−x²)/(2√3)dx = (1/(2√3))·(4R³/3) = 2√3R³/9 ≠ √3R³/9 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáy là đường tròn bán kính R tâm O, AB là đường kính trên trục Ox nên nửa đường tròn có phương trình y=√(R²−x²), −R≤x≤R.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại hoành độ x, đoạn MN trong đáy bằng √(R²−x²).
c) (AI giải đề cho tôi)
MP=MN·tan30°=√(R²−x²)/√3, nên S=½·MN·MP=(R²−x²)/(2√3).
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁=∫_{−R}^{R}(R²−x²)/(2√3)dx=(1/(2√3))·(4R³/3)=2√3R³/9, khác √3R³/9.