Hình vẽ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$. Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm $A(2;1;3)$, $B(4;3;3)$, $C\left(6;3;\frac{5}{2}\right)$, $D\left(4;0;\frac{14}{5}\right)$. Khi đó

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\frac{1}{2}\right)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;-4)$, nên $\vec{n}=(1;-1;4)$ cũng là một pháp tuyến của $(ABC)$ → a đúng. Mặt phẳng qua $A(2;1;3)$ dạng $-x+y-4z+d=0$: $-2+1-12+d=0\Rightarrow d=13$, tức $-x+y-4z+13=0$, không phải $-x+y-4z-13=0$ → b sai. Thay $D\left(4;0;\frac{14}{5}\right)$: $-4+0-\frac{56}{5}+13=-\frac{11}{5}\ne 0$ → c sai. Cắt $Ox$: $M(13;0;0)$; cắt $Oy$: $N(0;-13;0)$; $MN=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}\ne 13$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=\left(4;2;-\frac{1}{2}\right)$, $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1;1;-4)$ nên $(1;-1;4)$ là một pháp tuyến của $(ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Qua $A(2;1;3)$: $-2+1-12+d=0\Rightarrow d=13$, phương trình là $-x+y-4z+13=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D\left(4;0;\frac{14}{5}\right)$ vào $-x+y-4z+13=0$: $-4-\frac{56}{5}+13=-\frac{11}{5}\ne 0$ nên $D\notin (ABC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(13;0;0)$, $N(0;-13;0)$ nên $MN=\sqrt{169+169}=13\sqrt{2}\ne 13$.