Giả sử lợi nhuận biên tính bằng triệu đồng của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận tính bằng triệu đồng khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(x)={\int }_0^x{P}^{\prime }(t)dt={\int }_0^x(-0,0008t+10,4)dt=-0,0004x^2+10,4x$ (với $P(0)=0$).
a) Sai: hệ số của $x^2$ phải là $-0,0004$, không phải $-0,0008$.
b) $P(50)=-0,0004\cdot 2500+10,4\cdot 50=-1+520=519$ triệu đồng → đúng.
c) $P(55)-P(50)=-0,0004(55^2-50^2)+10,4\cdot 5=-0,21+52=51,79$ triệu đồng, không phải $49,79$ → sai.
d) Sự thay đổi: $P(a)-P(50)=-0,0004a^2+10,4a-519>517\iff -0,0004a^2+10,4a-1036>0\iff a^2-26000a+2590000<0\iff 100<a<25900$. Do bất đẳng thức nghiêm ngặt, $a=100$ không thỏa mãn (tại $a=100$ sự thay đổi đúng bằng $517$), nên không tồn tại giá trị nhỏ nhất của $a$ (chỉ có cận dưới là 100) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$ là $P(x)=-0,0004x^2+10,4x+C$; với $P(0)=0$ thì $C=0$. Hệ số $-0,0008x^2$ trong đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(50)=-0,0004\cdot 50^2+10,4\cdot 50=-1+520=519$ triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(55)-P(50)=-0,0004(3025-2500)+10,4(55-50)=-0,21+52=51,79$ triệu đồng $\ne 49,79$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(a)-P(50)>517\iff 100<a<25900$. Vì bất đẳng thức nghiêm ngặt, $a=100$ không thỏa mãn nên không có giá trị nhỏ nhất của $a$ (100 chỉ là cận dưới).