Hàm số $y=\sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2+2$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x\left(4x^2+2\right)$ là

Cho hàm số $f(x)=e^{2x}+\sin 3x$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=5^x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x\left(2e^{2x}-3\right)$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=4{\sin }^{2}x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=4\sin x\cos 3x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{3x^3+2x^2+5}{x},x\ne 0$ là

Họ các nguyên hàm $\int \frac{1}{(2x-1{)}^2}\mathrm{d}x$ là

Biết $\int \frac{x+1}{-x^2+3x-2}\mathrm{d}x=a.\ln |x-1|+b.\ln |x-2|+C$. Tính $a+b$.

Biết $F(x)=a{x}^2+bx+1,(a;b\in \mathbb{R})$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+1$. Tổng $a+b$ bằng

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{2x}$ và $F(0)=0$. Giá trị của $F(\ln 3)$ bằng

Cho hàm số $f(x)=4x^3-6x$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0)=2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=8x^3+\sin x,\forall x\in \mathbb{R}$.

Cho hàm số $f(x)=2\cos x$ và $g(x)=2{\sin }^2\frac{x}{2}$.

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R.Larson and B.Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

Cho $\int \frac{2x+1}{x-2}\mathrm{d}x=ax+b\ln |x-2|+C$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính giá trị $a+b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có $\int f(x)\mathrm{d}x=x\sin x+C$. Tính $f\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{x^3-12x}\left(x^4-4x^2\right)$. Biết hàm số $F(x)$ đồng biến trên khoảng $(a;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất của $a$ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+5& \text{khi }x\ge 1\\ 3x^2+4& \text{khi }x<1\end{array}$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $F(0)=2$. Tính giá trị của $F(-1)+2F(2)$.

Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc $15m/s$ thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó $50m$, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-3t+15(m/s)$, trong đó $t$ (giây). Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ phút. Biết $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt,(a;b\in \mathbb{R})$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 phút thì thể tích nước trong bể là $150d{m}^3$, sau 10 phút thì thể tích nước trong bể là $1100d{m}^3$. Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 15 phút là bao nhiêu $d{m}^3$?

Xét $f(x)$ là một hàm số tùy ý, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Biết $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=6$. Khi đó, $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;2]$, $f(1)=1$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=5$. Giá trị $f(2)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(2)-F(0)=10$. Khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}3f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Biết $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(1+f(x))\mathrm{d}x$ bằng

Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=5$ và $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=-3$, khi đó $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;3]$. Nếu $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=2$ thì $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[x-3f(x)\right]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Biết $F(1)=8$, giá trị $F(9)$ được tính bằng công thức nào dưới đây?

Biết $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+\frac{2}{x}\right)\mathrm{d}x=a+2\ln b$, với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tổng $a+b$ bằng

Có bao nhiêu số thực $b$ thuộc khoảng $(\pi ;3\pi )$ sao cho $\underset{\pi }{\overset{b}{\int }}4\cos 2x\mathrm{d}x=1$?

Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{6}}{\int }}4{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=a\pi +b\sqrt{3}$, $(a,b\in \mathbb{Q})$. Tính $ab$.

Gọi là các số nguyên sao cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\sqrt{e^{x+2}}\mathrm{d}x=2a{e}^2+be$, $(a;b\in \mathbb{Z})$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng

Biết $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{2}+c$ với $a$, $b$, $c$ là các số hữu tỷ. Tính $P=a+b+c$.

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{6x+3}{3x+5}\mathrm{d}x=a+b\ln 2+c\ln 5,(a;b;c\in \mathbb{Q})$. Tính $a+2b+3c$.

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2x+1}{x^2-4}\mathrm{d}x=a\ln 2+b\ln 3,(a;b\in \mathbb{Q})$. Tính $ab$.

Cho $\underset{4}{\overset{5}{\int }}\frac{x}{{\left(x-1\right)}^2}\mathrm{d}x=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của $abc$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f^{\prime }\left(x\right)=\sin x\cos x$ và $f\left(0\right)=1$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $f\left(x\right)$. Biết $f\left(0\right)=4$ và $f^{\prime }\left(x\right)=2{\sin }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó, $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có $f\left(0\right)=-2$ và đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $\forall x>-1$. Tích phân $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm đa thức bậc ba $y=f\left(x\right)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ được cho bởi hình vẽ sau:



Giá trị biểu thức $f\left(3\right)-f\left(2\right)$ bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $R$, $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ và $\underset{0}{\overset{9}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x=9$.

Cho hàm số $f(x)=3x^2-2x-1$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& \text{khi }x\ge 2\\ x-2& \text{khi }x<2\end{array}$.

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=2t(m/s)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 12 giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-8\left(m/{\mathrm{s}}^2\right)$ cho đến khi dừng hẳn.

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)\mathrm{d}x=a\ln 2+b\ln 3+c,\left(a;b;c\in \mathbb{Z}\right)$. Tính $a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2+a\pi +b}{16};(a;b\in \mathbb{Z})$, tính $a+b$.

Đường gấp khúc $ABC$ trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;3]$.



Tính $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x\mathrm{d}x}{(x+2{)}^2}=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính $3a+b+c$.

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên dưới:



Tính gần đúng đến hàng phần chục quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t)=\frac{1}{120}{t}^2+\frac{58}{45}t$ $(m/s)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 3 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left(m/s^2\right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A$. Tính vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$.

Cho hàm số $y=f(x)$ thoả mãn hàm $y=f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình bên. Giá trị của biểu thức $f(4)-f(-4)$ bằng

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x+3$ có diện tích là

Hình vẽ bên biểu diễn trục hoành cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại ba điểm có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ $(x_1<x_2<x_3)$. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=2-x$ và trục $Ox$ được tính bởi công thức

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị cắt trục $Ox$ tại đúng 4 điểm phân biệt (hình bên). Biết rằng ${\int }_{-1}^{1}f(x)\mathrm{d}x=21$, ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=-2$, ${\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và trục $Ox$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, $(a,b\in \mathbb{R},a<b)$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),x=a,x=b$ và trục hoành. Quay hình phẳng $D$ quanh trục $Ox$ ta được một khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=2-x$ và trục hoành quay xung quanh $Ox$ được tính bởi công thức

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian $v=f(t)$ (với $f(t)\ge 0\forall t$). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm $a$ đến thời điểm $b$ là:

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_0=15m/s$ thì tăng vận tốc với gia tốc $a(t)=t^2+4t\left(m/s^2\right)$. Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc là

Cho phần vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=0$ và $x=2$. Cắt phần vật thể $(T)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 2)$, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $x\sqrt{2-x}$. Tính thể tích $V$ của phần vật thể $(T)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét parabol $(P):y=x^2-4$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a<b<c$ như hình vẽ:

Cho các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và có đồ thị như hình bên. Hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x),y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=0,x=1$.

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=\frac{x^2}{8},x=0,x=4$.

Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình (phần được tô màu xám). Tính diện tích của mặt cắt ngang đó.