Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại các điểm $A,B,C$ sao cho $T=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất có dạng $x+ay+bz+c=0$. Tính $a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại $A,B,C$ nên đặt $OA=a$, $OB=b$, $OC=c$ với $a,b,c>0$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Vì $(P)$ đi qua $M(1;2;3)$ nên $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1$.

Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:
$${\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)}^2\le \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(1^2+2^2+3^2\right)=14T,$$
suy ra $T\ge \frac{1}{14}$. Dấu bằng xảy ra khi $\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=1:2:3$, tức $\frac{1}{a}=\frac{1}{14}$, $\frac{1}{b}=\frac{2}{14}$, $\frac{1}{c}=\frac{3}{14}$, suy ra $a=14$, $b=7$, $c=\frac{14}{3}$.

Phương trình mặt phẳng: $\frac{x}{14}+\frac{y}{7}+\frac{3z}{14}=1\iff x+2y+3z-14=0$. Vậy $a=2$, $b=3$, $c=-14$, do đó $a+b+c=2+3-14=-9$.