Cho hàm số $f(x)=4x^3-6x$. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ và $F(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=4x^3-6x$, $F$ là nguyên hàm của $f$ và $F(0)=2$.

a) Theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)=4x^3-6x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. → Đúng.

b) $\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x=x^4-3x^2+C_1-C_2$, tức chỉ là hiệu của hai nguyên hàm riêng mà thiếu hằng số tích phân tổng thể; viết $F(x)=\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x$ không phải một nguyên hàm xác định (mỗi tích phân đều có hằng số riêng, biểu thức này không xác định đúng một hàm $F$ với điều kiện $F(0)=2$). → Sai.

c) $F(x)=\int (4x^3-6x)\mathrm{d}x=x^4-3x^2+C$. Với $F(0)=2\Rightarrow C=2$, vậy $F(x)=x^4-3x^2+2$. → Đúng.

d) $F(1)=1^4-3\cdot 1^2+2=1-3+2=0\ne 3$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F^{\prime }(x)=f(x)=4x^3-6x,\forall x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức $\int 4x^3\mathrm{d}x-\int 6x\mathrm{d}x$ thiếu hằng số tích phân tổng thể, không xác định đúng một nguyên hàm $F$ thỏa $F(0)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^4-3x^2+C$; từ $F(0)=2$ suy ra $C=2$, nên $F(x)=x^4-3x^2+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1-3+2=0\ne 3$.