Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$, xung quanh trục $Ox$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Chọn mệnh đề đúng.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^x$.

Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

Cho hàm số $f(x)=2x-e^x$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;0)$, $B(-3;1;1)$, $C(3;-1;1)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[2025;2026]$ thỏa mãn $f(2025)-f(2026)=2008$. Tính giá trị của tích phân ${\int }_{2025}^{2026}\frac{1}{4}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$.

Cho tích phân $I={\int }_0^3\left|2^x-4\right|\mathrm{d}x=a+\frac{b}{c\ln 2}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ có dạng $x+by+cz+d=0$. Tính giá trị của $Q=b^3+c^3+d^3$.

Cho hình vuông $OABC$ cạnh bằng 10, điểm $M$ nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $OA$ và $OC$ đều bằng 4. Parabol $(P_1)$ đi qua các điểm $O$, $A$, $M$; parabol $(P_2)$ đi qua các điểm $O$, $C$, $M$. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Tìm $\int \sin xdx$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là $a$, $0$ và $b$ (với $a<0<b$). Biết ${\int }_a^{0}f(x)dx=-\frac{22}{13}$ và ${\int }_b^{0}f(x)dx=-\frac{25}{13}$. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, $y=0$, $x=a$ và $x=b$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Đêm ngày 27/2/2026, trường THPT Hùng Vương đã tổ chức đêm lửa trại nhân dịp Hội trại với chủ đề “Khát vọng cống hiến, lễ sống thanh niên”. Ban tổ chức bố trí một đống củi ở giữa sân trường, đỉnh của đống củi tại vị trí điểm $C$. Hai cục lửa được treo tại hai điểm $A$, $B$ trên một thanh ngang nối hai trụ ở tầng ba của khu dãy học; thanh ngang song song với mặt sân trường và cách mặt sân 12 m để gây hiệu ứng chạy lửa. Biết $AB=2a$ (với $a$ là tham số thực dương).
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ bên dưới (đơn vị trên mỗi trục là mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân trường; $Q$ và $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên $(Oxy)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ vuông góc với đoạn thẳng $PQ$ tại trung điểm $H$ của $PQ$. Biết khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABPQ)$ là 10 m và $C(0;0;1)$.

a) Tính tọa độ của điểm $A$ và $B$ theo tham số $a$.

b) Chứng tỏ ba điểm $A$, $B$, $C$ thuộc một mặt phẳng cố định và viết phương trình của mặt phẳng đó.