Đêm ngày 27/2/2026, trường THPT Hùng Vương đã tổ chức đêm lửa trại nhân dịp Hội trại với chủ đề “Khát vọng cống hiến, lễ sống thanh niên”. Ban tổ chức bố trí một đống củi ở giữa sân trường, đỉnh của đống củi tại vị trí điểm $C$. Hai cục lửa được treo tại hai điểm $A$, $B$ trên một thanh ngang nối hai trụ ở tầng ba của khu dãy học; thanh ngang song song với mặt sân trường và cách mặt sân 12 m để gây hiệu ứng chạy lửa. Biết $AB=2a$ (với $a$ là tham số thực dương).
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ bên dưới (đơn vị trên mỗi trục là mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân trường; $Q$ và $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên $(Oxy)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ vuông góc với đoạn thẳng $PQ$ tại trung điểm $H$ của $PQ$. Biết khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABPQ)$ là 10 m và $C(0;0;1)$.

a) Tính tọa độ của điểm $A$ và $B$ theo tham số $a$.

b) Chứng tỏ ba điểm $A$, $B$, $C$ thuộc một mặt phẳng cố định và viết phương trình của mặt phẳng đó.