Cho hình vuông $OABC$ cạnh bằng 10, điểm $M$ nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $OA$ và $OC$ đều bằng 4. Parabol $(P_1)$ đi qua các điểm $O$, $A$, $M$; parabol $(P_2)$ đi qua các điểm $O$, $C$, $M$. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $O(0;0)$, $A(10;0)$, $C(0;10)$, $B(10;10)$. Vì khoảng cách từ $M$ đến $OA$ và $OC$ đều bằng 4 nên $M(4;4)$.

Parabol $(P_1)$ đi qua $O,A,M$ có dạng $y=a{x}^2+bx$ (đi qua $O$). Qua $A$: $100a+10b=0\Rightarrow b=-10a$. Qua $M$: $16a+4b=4\Rightarrow 16a-40a=4\Rightarrow a=-\frac{1}{6}$, $b=\frac{5}{3}$. Vậy $y_1=\frac{10x-x^2}{6}$.

Parabol $(P_2)$ đi qua $O,C,M$ có dạng $x=\frac{10y-y^2}{6}$ (hoàn toàn tương tự theo $y$).

Phần không tô đậm là phần chứa $O$, giới hạn bởi cạnh $OC$, cạnh $OA$ và đường gấp khúc gồm $(P_2)$ từ $C$ đến $M$ và $(P_1)$ từ $M$ đến $A$. Do $(P_2)$ chỉ có nhánh qua $M$ với $x=x_2(y)$ khi $y\ge 4$ và $(P_1)$ có $y=y_1(x)$ khi $x\ge 4$, phần không tô đậm gồm:
- hình vuông nhỏ $[0;4]\times [0;4]$ (phần chứa $O$ bên dưới trái điểm $M$): diện tích $16$;
- vùng dưới $(P_1)$ từ $x=4$ đến $x=10$: ${\int }_4^{10}\frac{10x-x^2}{6}dx={\left[\frac{5x^2}{6}-\frac{x^3}{18}\right]}_4^{10}=\left(\frac{500}{6}-\frac{1000}{18}\right)-\left(\frac{80}{6}-\frac{64}{18}\right)=18$;
- vùng bên trái $(P_2)$ từ $y=4$ đến $y=10$: do đối xứng cũng bằng $18$.

Diện tích không tô đậm: $16+18+18=52$.

Diện tích phần tô đậm: $100-52=48$ (diện tích đơn vị).

So sánh với đáp án nguồn (48): khớp.