Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(5;-4;-1)$ và mặt phẳng $(P)$ qua $Ox$ sao cho $d(B;(P))=2d(A;(P))$, $(P)$ cắt $AB$ tại $I(a;b;c)$ nằm giữa $AB$. Tính $a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ qua trục $Ox$ có dạng $by+cz=0$ với $b^2+c^2\ne 0$. Ta có $d(A;(P))=\frac{|2b+3c|}{\sqrt{b^2+c^2}}$, $d(B;(P))=\frac{|-4b-c|}{\sqrt{b^2+c^2}}$. Điều kiện $d(B;(P))=2d(A;(P))$ cho $|-4b-c|=2|2b+3c|$, tức $4b+c=\pm (4b+6c)$.

Trường hợp 1: $4b+c=4b+6c\Rightarrow c=0$, khi đó $(P):y=0$. Kiểm tra: $d(A)=2$, $d(B)=4$, thỏa mãn. Điểm $I$ trên $AB$: $I=(1+4t;2-6t;3-4t)$. Vì $I\in (P)$ nên $y=0\Rightarrow 2-6t=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}\in (0;1)$, $I$ nằm giữa $A$, $B$. Suy ra $I=\left(\frac{7}{3};0;\frac{5}{3}\right)$, $a+b+c=\frac{7}{3}+0+\frac{5}{3}=4$.

Trường hợp 2: $4b+c=-(4b+6c)\Rightarrow 8b+7c=0$, chọn $b=-7$, $c=8$, $(P):-7y+8z=0$. Điểm $I$: $-7(2-6t)+8(3-4t)=0\Rightarrow 10+10t=0\Rightarrow t=-1\notin (0;1)$, loại vì $I$ không nằm giữa $A$, $B$.

Vậy $a+b+c=4$.