Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f^{\prime }\left(x\right)=\sin x\cos x$ và $f\left(0\right)=1$. Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.